Concettualmente un elemento $s$ è un minorante(il ragionamento per il maggiorante è analogo) per un insieme $A$ se comunque preso un elemento $a$ dell'insieme, risulta che l'elemento $s$ è sempre più piccolo o uguale. Nota che devi porre l'attenzione sul '
comunque preso'. Questa proprietà deve valere per ogni elemento dell'insieme e non soltanto per qualcuno.
ad esempio prendiamo l'insieme $A={x inZZ:2leqxleq5}$
qual è un minorante per l'insieme? $-192$ è un minorante tanto quanto lo è $2$. Questo perché entrambi gli elementi soddisfano la proprietà di essere minore o uguale di un qualsiasi elemento dell'insieme $A$.
In questo caso un minorante è un qualsiasi elemento dell'insieme $S={x inZZ:xleq2}$
Sul discorso del motivo per cui si usa $leq$, provo ad andarci così: ci sono tre concetti che sostanzialmente sono molto legati e sono; minorante(maggiorante), estremo inferiore(superiore), minimo(massimo).
1) il minorante è il più piccolo elemento di un insieme, o qualunque altro elemento più piccolo di ogni elemento dell'insieme.
2) l'estremo inferiore è il più grande minorante per l'insieme(ci guadagni l'unicità)
3) se l'estremo inferiore appartiene all'insieme(quindi se il più grande minorante è un elemento dell'insieme) allora quello si chiama minimo.è chiaro che una definizione tira l'altra. Se togliessimo l'uguale dalla relazione $leq$ nel caso di un insieme chiuso(quindi del tipo $[a,b]$) come stabiliremmo se un determinato elemento sia di minimo per un insieme? Nota che questo introduce i concetti di massimo e minimo per una funzione.
$S={x inRR:x in(sqrt2,pi)}$
Seguendo il ragionamento di prima, l'insieme $S_m={x inRR:xleqsqrt2}$ contiene tutti i minoranti dell'insieme $S$. In particolare il termine $sqrt2$ rappresenta il più grande minorante per l'insieme $S$ quindi $INF_S=sqrt2$. Nota che non appartiene all'insieme, quindi non si può parlare di minimo.
$S={x inRR:x in[sqrt2,pi)}$
questa volta non solo $sqrt2$ è il più piccolo minorante, ma appartiene anche all'insieme, dunque è anche un minimo!
Poi per ultima cosa, se avessimo un insieme limitato, in questo caso con $<$ avremmo sempre il più piccolo minorante e potremmo definire l'estremo inferiore, ma nel caso di un insieme chiuso, non esisterebbe l'estremo inferiore, perché non potremmo definirlo attraverso il concetto di minorante.
Volendo fare un altro esempio: consideriamo l'insieme $E={9,17,23,47,58,90}$(mi raccomando giocali...
) dove i numeri rappresentano le età di alcune persone.
Come si può intendere un maggiorante dell'insieme? può essere il più grande di tutti, oppure qualcuno anche più grande di lui.