Integrabilità secondo la misura $\nu (A):=\int_A gd\mu$

[DavideGenova]

Sia $\mu$ una misura $\sigma$-additiva completa (perché tali sono le condizioni per cui conosco la definizione dell'integrale di Lebesgue secondo il Kolmogorov-Fomin) definita sulla $\sigma$-algebra degli insiemi di unità $X$.
Se $g\in L^1(X,\mu)$ è una funzione non negativa, allora direi che anche la misura $\nu$ definita, per ogni insieme $\mu$-misurabile $A\subset X$, da $$\nu (A):=\int_A g\,d\mu$$sia una misura $\sigma$-additiva completa definita sulla stessa $\sigma$-algebra di $\mu$.
Vale l'identità $$\int_Xf\,d\nu=\int_X fg\,d\mu$$ per una classe di funzioni $f:X\to\mathbb{R}$ un po' meno banale di quelle costanti?
$\infty$ grazie!

[dissonance]

https://en.wikipedia.org/wiki/Radon%E2% ... derivative

vedi nelle proprietà in fondo alla pagina

[DavideGenova]

Mmh... Conosco il teorema di Radon–Nikodym dal Kolmogorov-Fomin, ma non saprei esattamente come applicarlo qui... Tuttavia ho avuto un'intuizione ieri notte (è bello addormentarsi tentando di dimostrare teoremi, altro che pecorelle... solo che i teoremi tengono svegli... ) pensando a come applicare un risultato da me recentemente appreso, cioè che, se $f:X\to[0,+\infty)$ è misurabile, W. Rudin, Analisi Reale e Complessa, § 1.17 (teorema che conosco grazie a Gugo, ché non è sul Kolmogorov-Fomin e non l'avevo mai visto prima) dimostra che esistono funzioni misurabili $f_n: X\to[0,+\infty)$ assumenti finiti valori tali che, per ogni $x\in X$, $$f_1(x)\le f_2(x)\le\ldots\le f(x)\quad\text{ e }\quad f_n(x)\to f(x).$$

Ora, il teorema di Beppo Levi garantisce che, se $\varphi_1(x)\le \varphi_2(x)\le\ldots$, con $\varphi_n\in L^1(X)$, e se \(\exists K:\forall n\quad\int_X \varphi_nd\mu\le K\), allora esiste finito quasi ovunque il limite $\lim_n \varphi_n(x)$ e \(\lim_n\int_X \varphi_nd\mu=\int_X\lim_n \varphi_n d\mu\).

Ma, se $fg\in L^1(X,\mu)$, allora $$\forall n\in\mathbb{N}\quad\int_X f_nd\nu=\int_X f_n gd\mu\le\int_X fgd\mu$$ (e invece, nell'ipotesi che $f\in L^1(X,\nu)$, si ha che \(\forall n\quad \int_X f_ngd\mu=\int_X f_n d\nu\le\int_X fd\nu\)) e quindi (in entrambi i casi) sia la successione $\{f_n\}$ sia $\{f_ng\}$ soddisfano le ipotesi su $\{\varphi_n\}$ del teorema di Beppo Levi. Perciò $$\lim_n\int_X f_nd\nu=\int_X\lim_nf_nd\nu=\int_X fd\nu$$$$=\lim_n\int_X f_ngd\mu=\int_X\lim_nf_ngd\mu=\int_X fgd\mu.$$
Direi quindi che sia dimostrato che $fg\in L^1(X,\mu)\iff f\in L^1(X,\nu)$ e che \(\int_Xfd\nu=\int_Xfgd\mu\) per $f$ non negative, ma quindi, valendo per le parti negativa e positiva, ed immaginaria e reale, di qualunque funzione $f:X\to\mathbb{C}$, abbiamo dimostrato l'asserto.

Giusto? Se è giusto si tratta probabilmente di roba banale, ma non ho mai avuto a che fare (non mi sono ancora procurato il Gilardi che mi hai consigliato, ma intendo farlo) con testi che dimostrino molto di analisi non elementare o teoria della misura. $\infty$ grazie!

[dissonance]

Non lo so Davide e non avrò mai il tempo di leggere in questi giorni. Ma nella scheda "Properties" della pagina di Wikipedia che ho linkato c'è la risposta alla tua domanda:

"If μ ≪ λ and g is a μ-integrable function, then [etc...]"

[DavideGenova]

Grazie!!! Confermi comunque che $fg\in L^1(X,\mu)\iff f\in L^1(X,\nu)$?

[DajeForte]

Innanzitutto, la misura $nu$ è finita questo perchè la funzione $g$ è $mu$-integrabile. Inoltre non è detto che sia completa, questo perchè ti possono saltare fuori nuovi insiemi di misura nulla.

Detto questo, considera la relazione:

$$ (*) \qquad \qquad \int f d \nu = \int f g d \mu.$$

(*) è vera per funzioni indicatrici: $f=I_A$. Questa è la definizione della misura $nu$.
Per linearità dell'integrale, (*) è vera per funzioni semplici (combinazione lineare finita di funzioni indicatrici).
Grazie alla convergenza monotona (quello che tu chiami Beppo Levi e non ci credo che il KF non lo afferma - inoltre non ti serve che gli integrali siano finiti ne tantomeno limitati), (*) vale per $f:X mapsto [0,+ infty]$.

Dunque $int |f| dnu <+ infty$ se e solo se $int |f| g dmu <+infty$.
Infine, se $f in L^1(X,nu)$, puoi applicare (*) alla parte positiva e negativa e sottrarre membro a membro.

Questa è una tecnica standard di dimostrazione dell'integrale di Lebesgue ed è sostanzialmente ciò che hai fatto te (anche se a un certo punto mi sono perso).

Concludo dicendo che il teorema di Radon Nikodym salta fuori in quanto $nu$ è assolutamente continua rispetto $mu$ e $g$ è la densità. Conquanto sopra vedi che RN si estende alla relazione (*).

[DavideGenova]

Innanzitutto, la misura $nu$ è finita questo perchè la funzione $g$ è $mu$-integrabile. Inoltre non è detto che sia completa, questo perchè ti possono saltare fuori nuovi insiemi di misura nulla.

Mmh... Grazie! Questo è fondamentale, perché per misure non complete non sapevo neanche che si definisse un integrale.
Si definisce quindi un integrale di Lebesgue anche rispetto a misure non complete? Anche in questo il KF ha un approccio diverso dagli altri autori?

quello che tu chiami Beppo Levi e non ci credo che il KF non lo afferma

No, no, il teorema di Beppo Levi c'è nel KF: quello che non c'è è l'approssimabilità puntuale di una funzione non negativa con una successione non decrescente di funzioni $f_n$ misurabili semplici, assumenti finiti valori, tali che $0\lef_1\le f_2\le ...\le f$.

inoltre non ti serve che gli integrali siano finiti ne tantomeno limitati

Mi sono rifatto al teorema di Beppo Levi riportato dal KF, che non tratta di funzioni assumenti valori infiniti, né di integrali infiniti, né di integrali rispetto a misure non complete.

Grazie di tutto!

[dissonance]

[IMHO]
Mamma mia Davide, tutte le menate del mondo te le fai tu. Queste cose non sono così interessanti da starci su una settimana. Se vuoi studiare la matematica, vai avanti, non ti piantare sui cavilli, cerca di affrontare qualche problema interessante.
[/IMHO]
Ad esempio, invece di macerarti il cervello sui libri di testo, perché non provi a consultare qualche articolo dell'American Mathematical Monthly? Propongono spesso dei problemi stimolanti e in un formato auto-contenuto, adatto alla lettura privata.