Isometrie disco unitario

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Buonasera. Ho bisogno di aiuto con questo esercizio:

Sia $D=\{z \in C : |z|^2 < 1\}$ con la metrica $g=4/((1-|z|^2)^2)<>$. Sia $z_0 \in D$. Dimostrare che $f(z) = \frac{z-z_0}{1-con(z_0)z}$ è un'isometria del disco con la metrica g. Dove con($z_0$) è il coniugato, non so come si scrive in latex.

Non ho idea di come posso risolvere l'esercizio, so che dovrei mostrare un tentativo ma l'unica cosa che mi viene in mente è la forza bruta ma sono troppi calcoli, ci deve essere una strada migliore. Avevo anche visto che quella metrica è la metrica iperbolica e quindi l'unica cosa che mi è venuta in mente è che potrei far vedere che la distanza iperbolica viene preservata. Vi prego datemi un input. Grazie

[coffee]

Per definizione, $f$ è un'isometria di $(D,g)$ se è un diffeomorfismo di $D$ e se $g$ coincide con il proprio pullback lungo $f$. La prima condizione si verifica con qualche conto, la seconda invece vale a dire che \[ g_z(u,v) = (f^*g)_z(u,v) := g_{f(z)}(df_z(u),df_z(v)) \] per ogni punto $z\in D$ e ogni $u,v$ vettori tangenti a $D$ in $z$.

Vista la forma di $g$, riscrivo questa condizione come \[ \frac{4}{(1-|z|^2)^2}\langle u,v\rangle_z = \frac{4}{(1-|f(z)|^2)^2}\langle df_z(u),df_z(v)\rangle_{f(z)} \] dove con $\langle ,\rangle_p$ indico il prodotto scalare euclideo sul piano $T_p D$ tangente a $D$ nel punto $p$.

$f$ è olomorfa e perciò il suo differenziale $df_z:T_z D\to T_{f(z)}D$ è dato dallo scalare $|f'(z)|$ che moltiplica una trasformazione ortogonale (rispetto ai prodotti scalari euclidei). Allora $\langle df_z(u),df_z(v)\rangle_{f(z)} = |f'(z)|^2\langle u,v\rangle_z$ e quindi basta verificare che $1-|f(z)|^2 = |f'(z)|(1-|z|^2)$ per ogni $z\in D$.