Sui sottogruppi di un gruppo ciclico il cui prodotto genera il gruppo stesso

[nine98100]

Salve a tutti, ripensando alla teoria dei gruppi mi sono posto questa domanda: Sia $ G $ un gruppo ciclico e siano $ H $ e $ K $ due suoi sottogruppi propri diversi dal sottogruppo identico. Se $ Hnn K={1_G} $ allora $ HK=G $ . Questa affermazione è vera?? (perché sono abbastanza convinto che lo sia).. Se si come si dimostra questo risultato ??

[vict85]

Ciò che ipotizzi è falso. Per esempio in \(\mathbb{Z}_{30}\), \(\langle 15 \rangle \cong \mathbb{Z}_2\) e \(\langle 10\rangle \cong \mathbb{Z}_3\) generano il sottogruppo \(\langle 5 \rangle \cong \mathbb{Z}_6\).

[nine98100]

Hai ragione, quello che si può dire in generale per qualsiasi gruppo e quindi in particolare per i gruppi ciclici è il seguente risultato:
Se $ H $ è un sottogruppo normale massimale (normale minimale) di un gruppo $ G $ , si ha $<H,K>$$=G$ (rispettivamente $HnnK=1$ ) per ogni $K$ sottogruppo normale di $G$ non incluso in $H$ (non includente $H$).