$n$ non divide $k^3-k+m$

[Pachisi]

Dimostrare che per ogni intero $n \ge 2$ esiste un intero $m$ tale che $k^3-k+m$ non è divisibile per $n$ per ogni intero positivo $k$.

[Vincent46]

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Fissiamo un $n$ siffatto. La tesi è equivalente a dimostrare che esiste $l \in \mathbb{N}$ tale che $k^3-k \ne l (mod n)$ per ogni valore di $k$. Infatti, se riesco a trovare un tale $l$, allora $m=n-l$ soddisferà la richiesta dell'esercizio. Verifichiamo che è sempre possibile trovare un tale $l$.
Notiamo le seguenti cose:

$1)$ $k^3-k = (k+n)^3-(k+n) (mod n)$, ragion per cui è sufficiente controllare che solo i primi $n$ valori di $k$ siano tali che $k^3-k \ne l$; ovvero possiamo limitarci a verificare i casi in cui $k \in {1, ..., n}$.

$2)$ poiché $k$ varia in un insieme di $n$ elementi e $n$ sono i possibili resti nella divisione per $n$, se non esistesse un tale $l$, allora $k^3-k$ dovrebbe fornire tutti i possibili resti nella divisione per $n$ al variare di $k$. Ma, per il punto $1)$, sappiamo che i resti di $k^3-k$ sono ciclici di periodo $n$. allora, la funzione

\[f : \{1, ..., n\} \rightarrow \mathbb{Z}_n \\
f : k^3-k \rightarrow k^3-k (mod n) \]

dovrebbe essere biettiva. Ma, poiché $k^3-k=k(k-1)(k+1)$, si ha che $f(n-1)=f(n)$, assurdo.

[Pachisi]

Ok