Ciao a tutti! Ultimamente mi sto cimentando con gli integrali tripli e con alcuni sto avendo dei problemi purtroppo... Ma veniamo all'esercizio!
Dato l'insieme $ E = {(x,y,z)in R^3: 1<=x^2+y^2<=4; 0<=z<=3-sqrt(9-x^2-y^2)} $
Calcolare : $ int int int_(E) (z-3)/sqrt(x^2+y^2) dx dy dz $
Allora, il mio professore applica le coordinate cilindriche: $ { ( x=rcos(theta) ),( y=rsin(theta) ),( z=z ):} $
di conseguenza: $ { ( 1<=r<=2 ),( 0<=theta<=2pi ),( 0<=z<=3-sqrt(9-r^2)):} $
ottenendo: $ int_(1)^(2) dr int_(0)^(2pi) dvartheta int_(0)^(3-sqrt(9-r^2)) (z-3)/r rdz $
e qui viene subito messo il risultato, che è $ -7/3pi $
Ora, cercando di capire come l'integrale è stato risolto, ho proceduto così:
$ int_(1)^(2) dr int_(0)^(2pi) [z^2/2-3z]_(0)^(3-sqrt(9-r^2)) dvartheta $
ottenendo infine, dopo qualche passaggio: $ int_(1)^(2) pi(9-9sqrt(9-r^2)-r^2) dr $
che è il punto in cui mi incastro
Grazie in anticipo, non esitate a segnalare qualsiasi cosa!