Integrale fratto con determinante <0

[Fenshu]

Ciao a tutti,
proprio non capisco dove sbaglio nella risoluzione di questo integrale, tra poco il libro finisce nel forno acceso
$ int 5/((4x^2)+3)dx $

Allora tiro fuori il 5 dall'integrale:
$ 5int 1/((4x^2)+3)dx $

Raccolgo il $ 3 $ al denominatore:
$ 5int 1/(3(4/3x^2+1))dx $

Recupero il quadrato al denominatore:
$ 5int 1/(3*(((2x)/(sqrt3))^2+1))dx $

A questo punto pongo $ t=(2x)/sqrt3$, quindi $dt=2/sqrt3$:
$ 5*(2/sqrt3) int 1/(3[(t^2)+1])dt $

Porto fuori il $ 3 $ al denominatore moltiplicando e dividendo:

$ (1/3)*5*(2/sqrt3) int 1/[(t^2)+1]dt $

Quindi il risultato che ottengo è:
$ (10/(3sqrt3))arctg((2x)/sqrt3)+c $

Il risultato del libro, e del calcolatore online, è $ (5/(2sqrt3))arctg((2x)/sqrt3)+c $

Dove sbaglio?
1000 grazie per l'eventuale aiuto!
Ciao

[Vulplasir]

$dt=2/(sqrt(3))dx$ e quindi

$dx=sqrt(3)/2dt$

[Fenshu]

Grazie 1000 per la dritta, ho effettivamente sbagliato il differenziale di $ t $.
Tuttavia, se è corretto il procedimento che ho fatto fino a porre $ t=(2x)/sqrt3 $ non torna lo stesso il risultato perchè il $ 5/3 $ fuori dall'integrale rimane.
Scusate, probabilmente mi perdo in bicchier d'acqua, ma non ne vengo fuori.

[Vulplasir]

Il $5/3$ rimane, ma dato che $dx$ viene sostituito con $sqrt(3)/2dt$ allora si ha che rimane $5/3*sqrt(3)/2=5/(2sqrt(3))$

[Fenshu]

Il $5/3$ rimane, ma dato che $dx$ viene sostituito con $sqrt(3)/2dt$ allora si ha che rimane $5/3*sqrt(3)/2=5/(2sqrt(3))$

Sapevo di perdermi in cretinate.
Ho pensato a $ 5/(2sqrt(3))$ come risultato diverso rispetto $ (5sqrt(3))/6$, che invece è la stessa quantità espressa in modi diversi.
Grazie 1000!