okok allora ho capito correttamente quello che avevi detto!
tuttavia intendavamo la stessa cosa (probabilmente sono un po arrugginito con certe definizioni di analisi
), solo che intendevo il gradiente della funzione in forma parametrica (spesso leggo [come nell'immagine che avevo postato] "...funzione $f(x,y)=0$" riferito alla funzione in forma parametrica, quindi per gradiente della funzione intendevo $gradf(x,y)$, anche se capisco che essendo y variabile dipendente da x la funzione sia $f(x)$)
Sicuramente come lo hai espresso tu è indubbiamente piu corretto, pero in certi contesti è difficile trovargli un interpretazione fisica. Faccio un paio di esempi, uno dove quanto hai detto calza a pennello e una dove mi sono perso qualcosa:
Gradiente termico: qui quanto hai detto riesco a trovargli un significato fisico ben chiaro avendo un
campo scalare $temperatura=temperatura(x,y,z)$, quindi $RR^3->RR$, ed il gradiente termico fornisce la direzione ed il verso del vettore flusso termico specifico(Legge di Fourier sulla conduzione).
Traiettoria: Mettiamo che dobbiamo eseguire uno studio cinematico di un punto materiale vincolato a mantenere come traiettoria quella di un elicoide ( e quindi dobbiamo descrivere le azioni inerziali e per questo ci serve il versore normale alla traiettoria ), descritto quindi da una funzione del tipo $f(x,y,z)=0$ in forma parametrica. Se tale funzione risulta essere una superficie di livello di una funzione del tipo $f=f(x,y,z)$ (dove attenzione f dovrebbe essere scalare, ovvero $RR^3->RR$, e quindi definisce
un campo scalare), ed in particolare quella dove $f=0$, che cos'è il campo scalare a cui fai riferimento??
In sostanza capisco che quanto avevo detto era fuorviante e formalmente errato, perchè preso letteralmente il gradiente di una funzione $f(x)$ un lettore capisce $(partial f)/(partial x)hat(i)$, e non $gradf(x,y)$, ma se nel caso del gradiente termico il campo scalare non è altro che la distribuzione di temperatura nello spazio, nel caso della traiettoria il campo cos'è?
E' solo un mezzo matematico atto a tale operazione o ha un senso fisico ben chiaro?