Esercizio su un Limite

[GabryelCris]

Buonasera, ho un problema con questo esercizio. Ho provato e riprovato ma non riesco a risolverlo.

Venendo al dunque questo è l'esercizio da risolvere:

$ lim n-> +∞ | (n(sen(2/n))*(cos(1/n))) $

Aiuti?

[Shocker]

Ciao,


$lim_{n\to\+infty} n(sin(2/n)cos(1/n)) = lim_{n\to\+infty} \frac{sin(2/n)}{1/n}cos(1/n) = ...$

[GabryelCris]

Ti ringrazio, fino a qui ci sono e dopo (?) che significano i puntini?

[Shocker]

Ti ringrazio, fino a qui ci sono e dopo (?) che significano i puntini?

Significano "concludi tu"

Hai $lim_{n\to+\infty} \frac{sin(2/n)}{1/n}cos(1/n)$, non ci vedi nessun possibile limite notevole?

[GabryelCris]

Sinceramente non riesco a vederlo :O Per questo motivo ho chiesto aiuto e una possibile spiegazione.

[Shocker]

Sinceramente non riesco a vederlo :O Per questo motivo ho chiesto aiuto e una possibile spiegazione.

D'accordo!

Dunque eravamo qui:

Hai $ lim_{n\to+\infty} \frac{sin(2/n)}{1/n}cos(1/n)$, moltiplico e divido per $2$(trucco) e ottengo:
$ lim_{n\to+\infty} 2 \frac{sin(2/n)}{2/n}cos(1/n) = 2 * 1 * 1$.
Perché?
Beh nota che ci siamo ricondotti al limite notevole $lim_{t\to0} sin(t)/t = 1$
infatti $2/n \to 0$ per $n\to \+infty$ sicché $lim_{n\to+\infty} \frac{sin(2/n)}{2/n} = 1$¹, da cui:
$ lim_{n\to+\infty} 2 \frac{sin(2/n)}{1/n}cos(1/n) = 2 * 1 * 1$(note che $cos(1/n) -> 1$ per $n->+oo$).

Se hai altri dubbi chiedi pure

Ciao!

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Note

1. casomai non riuscissi a vederlo, basta fare la sostituzione $t = 2/n$, da cui $t \to 0$ per $n \to +oo$ e quindi $lim_{n\to+\infty} \frac{sin(2/n)}{2/n} = lim_{t \to 0} sin(t)/t = 1$ ↑

[GabryelCris]

Ti ringrazio davvero, sei stato chiarissimo. Un'ultima cosa, perchè hai la necessità di ricondurre il limite di più infinito a quello sostituito con la t a 0?

[Shocker]

Ti ringrazio davvero, sei stato chiarissimo. Un'ultima cosa, perchè hai la necessità di ricondurre il limite di più infinito a quello sostituito con la t a 0?

Non è necessario. L'ho scritto solo per farlo "vedere di più", cioè per renderlo più comprensibile nel caso tu avessi incontrato solo il classico $sint/t -> 1$ per $t \to 0$ e non esemplari più esotici.