Domanda di logica matematica

[Luisa18111996]

TRACCIA QUESITO: Sia un corridoio della larghezza di 1m con un angolo retto, come in figura (allegata qui http://pedroperaria.altervista.org/scala.gif ). La lunghezza massima che può avere un'asta rigida che possa raggiungere l'uscita del corridoio strisciando sul pavimento è:
A) 1m;
B) 2√2m;
C) √2 m;
D) 3m;
E) 3,5m.

Mi spieghereste tutti i passaggi?

[axpgn]

Penso la B ...

[anto_zoolander]

Si può fare in svariati modi, te ne propongo uno con le funzioni. In particolare pongo $CH=x,x>0$
I due triangoli sono simili, quindi vale la seguente proporzione

$x/1=1/(KA) <=> KA=1/x$

La misura della somma delle ipotenuse sarà dunque data da

$i(x)=sqrt(1+1/x^2)+sqrt(1+x^2)=sqrt(x^2+1)/x+sqrt(1+x^2)$

$i(x)=sqrt(x^2+1)(1/x+1)$

è chiaro che la misura dell'ipotenusa deve essere quella minima, dunque minimizziamo la funzione $i$

$i'(x)=x/sqrt(x^2+1)(1/x+1)+sqrt(x^2+1)(-1/x^2)$

$i'(x)=1/sqrt(x^2+1)+x/sqrt(x^2+1)-sqrt(x^2+1)/x^2$

$i'(x)geq0 => x^2+x^3-x^2-1geq0 => x^3geq1 => xgeq1$

dunque la funzione cresce per $x>1$ decresce per $x<1$ e ha un punto stazionario in $x=1$ dunque $x=1$ è un punto di minimo per la funzione. Calcoliamo il valore della funzione in $1$ e otteniamo

$i(1)=sqrt(1+1)(1/1+1)=2sqrt2$

lo stesso si può fare ponendo come variabile l'angolo $HCB=x,x in(0,pi/2)$ e notando che $CH=cotx$ e $KA=tanx$ con funzione misura di ipotenusa pari a

$i(x)=sqrt(tan^2x+1)+sqrt(cot^2x+1)$

[axpgn]

Anto, c'è un piccolo problema però ... questo

... è chiaro che la misura dell'ipotenusa deve essere quella minima, ...

... se dai una spiegazione dettagliata non possiamo accontentarci ...

[anto_zoolander]

Io lo so che tu infondo lo fai per me

[axpgn]

Esatto!

[consec]

Si poteva risolvere pure senza derivate (che sono poco eleganti)
Applicando due volte AM-GM
$sqrt(1+x^2)+sqrt(1+1/x^2)>=2sqrt(sqrt((1+x^2)(1+1/x^2)))=2sqrt(sqrt(2+x^2+1/x^2))>=2sqrt(sqrt(4))=2sqrt(2)$ dove l'uguaglianza sussiste solo quando $x^2=1/x^2$
Comunque concordo, non è immediato il perché cerchiamo il minimo della somma delle ipotenuse

[anto_zoolander]

Si può risolvere anche senza nulla, infatti l'ho specificato, mi andava di usare quella con le derivate
Comunque bello questo AM-GM, non lo conoscevo, danke.

[Luisa18111996]

Si poteva risolvere pure senza derivate (che sono poco eleganti)
Applicando due volte AM-GM
$sqrt(1+x^2)+sqrt(1+1/x^2)>=2sqrt(sqrt((1+x^2)(1+1/x^2)))=2sqrt(sqrt(2+x^2+1/x^2))>=2sqrt(sqrt(4))=2sqrt(2)$ dove l'uguaglianza sussiste solo quando $x^2=1/x^2$
Comunque concordo, non è immediato il perché cerchiamo il minimo della somma delle ipotenuse

non ho ben capito questo metodo, me lo spiegheresti cortesemente?

[@melia]

Ciao Luisa18111996, benvenuta nel forum.
Ho corretto il titolo perchè in internet il maiuscolo è come gridare e noi non amiamo chi alza la voce.