Serie di funzioni

[Enri93]

Buonasera, ho bisogno di una mano con questo esercizio:

Determinare l'insieme di convergenza assoluta della serie di funzioni

\(\displaystyle \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^2+1} \frac{1}{(x^2-1)^n}, x \neq \pm 1 \)

studiare quindi la convergenza totale della serie nell'insieme trovato.



Procedo nel seguente modo:

considero \(\displaystyle \frac{1}{(x^2-1)^n}= \lgroup \frac{1}{x^2-1} \rgroup^n \)

e sostituisco \(\displaystyle t= \frac{1}{x^2-1} \), riconducendomi alle serie di potenze.

Per calcolare il raggio di convergenza utilizzo il criterio del rapporto, ottenendo: \(\displaystyle \lim_{n\to \infty}{\frac{n^2+1}{(n+1)^2+1}} \), il risultato è 1 e quindi la serie converge assolutamente \(\displaystyle \forall t \in (-1,1) \).

Verifico la convergenza negli estremi. Per t=-1, ho semplicemente una serie a segni alterni, quindi applico il criterio di Leibniz

\(\displaystyle \lim_{n\to \infty} a_n= \lim_{n\to \infty} {\frac{1}{n^2+1}}=0 \). Inoltre la disequazione \(\displaystyle a_{n+1}\leqslant a_n \) è verificata, quindi la serie converge.

Per t=1, procedo al confronto con la serie \(\displaystyle \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^2} \) (che converge!), ovvero

\(\displaystyle \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^2+1} \leqslant \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^2} \), per cui anche in 1 ho convergenza.

Dopo aver stabilito l'insieme di convergenza \(\displaystyle t \in [-1,1] \), risolvo il seguente sistema di disequazioni:

$ { ( 1/(x^2-1)\geq -1 ),( 1/(x^2-1) \leq 1 ):} $

Dopo un po' di conti ottengo che $ x\leq-√2 \vee x\geq√2 $

Per cui ho ottenuto il mio insieme di convergenza assoluta: $ x\in(-\infty,-√2] \bigcup [√2,+ \infty) $

Per quanto riguarda quella totale io direi che abbiamo convergenza totale \(\displaystyle \forall x \in I \subseteq (-\infty,-√2] \bigcup [√2,+ \infty) \) dove I è chiuso e limitato.

Secondo voi il processo logico è corretto? Inoltre quanto da me specificato sulla convergenza totale è sufficiente? Scusate il disturbo ma ho problemi con questa tipologia di esercizi, quindi vorrei essere sicuro di non sbagliare. Grazie anticipatamente per l'aiuto!

[Enri93]

Up..

[salt21]

Credo sia corretto

P.s. Se puoi, ho postato anch'io un esercizio sulle serie (in particolare sugli sviluppi in serie di Taylor-McLaurin), magari guardalo e mi dai un'opinione

[Enri93]

Credo sia corretto

P.s. Se puoi, ho postato anch'io un esercizio sulle serie (in particolare sugli sviluppi in serie di Taylor-McLaurin), magari guardalo e mi dai un'opinione

Ok, vediamo se riesco a darti una mano (dubito, ma ci provo).

[Enri93]

Ho controllato, ma sinceramente non saprei aiutarti!

[salt21]

Grazie lo stesso, @Enri93 Credo di aver risolto