Minimo di una funzione in tre variabili

[anonymous_0b37e9]

Per quanto riguarda il primo insieme:

$\{((z-1/2)^2=8\lambdax),(0=8\lambday),(2x(z-1/2)=-2\lambdaz):} ^^ [4(x^2 + y^2)=z^2] ^^ [0<z<1]$

le soluzioni mi risultano essere:

$[A(1/12,0,1/6)] vv [B(-1/12,0,1/6)] vv [C(\alpha,\beta,1/2) ^^ \alpha^2+\beta^2=1/16]$

Per quanto riguarda il secondo insieme:

$\{((z-1/2)^2=0),(0=0),(2x(z-1/2)=\lambda):} ^^ [z=1] ^^ [x^2+y^2<1/4]$

non mi risultano soluzioni.

Per quanto riguarda il terzo insieme:

$\{((z-1/2)^2=8\lambdax),(0=8\lambday),(2x(z-1/2)=-2\lambdaz+\mu):} ^^ [z=1] ^^ [x^2+y^2=1/4]$

le soluzioni mi risultano essere:

$[D(1/2,0,1)] vv [E(-1/2,0,1)]$

Non ho ben compreso che cosa tu intendessi fare con il secondo insieme. Ad ogni modo, anche procedendo come sopra, è il più semplice da evadere.

[cesare1]

Perfetto, grazie mille.
Non mi è usuale fare come tu hai fatto per il secondo insieme perché io solitamente definisco una F tale che $C={F=0}$ (intendo la frontiera di C), ma qui per il secondo insieme avrei dovuto definire una F tale che $F(x,y,z)=(x^2+y^2-1/4 <0, z-1=0)$
non so se mi hai compreso

[anonymous_0b37e9]

A me pare la stessa cosa. Ho calcolato il gradiente di $[F(x,y,z)=z-1]$. La condizione $[x^2+y^2<1/4]$ è a parte.

[cesare1]

Ah ok ok, perfetto grazie mille. Potrei chiederti un altro esercizio? se hai tempo

[anonymous_0b37e9]

Se posso aiutarti, certamente.

[cesare1]

Sempre problema di minimo:

$C={(x,y,z) in RR^3 : x^2 + y^2 + z^2 ≤ 1 , z≥y$
f$(x,y,z)=x(z-y)^2 $

Ho trattato i punti interni e non mi risultano esserci candidati.
Quindi sono passato al bordo. Ho diviso il bordo in due insiemi

Insieme 1 = ${(x,y,z) in RR^3 : x^2 + y^2 + z^2 = 1 , z=y}$

Ho usato il metodo dei moltiplicatori di lagrange e il risultato del sistema è:
A=${(x,y,z) in RR^3 : x^2 +2y^2=1, z=y$

Adesso stavo considerando l'altro insieme

Insieme 2 ${(x,y,z) in RR^3 : x^2 + y^2 + z^2 = 1 , z>y}$
e mi ritrovo a dover risolvere il sistema formato dalle seguenti equazioni:
$x^2 + y^2 + z^2 =1$
$(z-y)^2=2xa$
$-2x(z-y)=2ya$
$2x(z-y)=2za$

con la condizione $z>y$

E' giusto per ora?

[anonymous_0b37e9]

Per quanto riguarda i punti interni, sono d'accordo. Per quanto riguarda il bordo, ti consiglio di analizzare prima le superfici, un solo moltiplicatore di Lagrange, quindi la curva, due moltiplicatori di Lagrange. Questa sera ti posto le soluzioni.

[cesare1]

Si esatto ho fatto così, per l'insieme 1 ho usato due moltiplicatori, mentre per il 2 uno. Le soluzioni ottenute mi sembrano abbastanza plausibili considerando il dominio e la funzione, sono:
$B=(2^(1/2)/2,1/2,-1/2)$ ESCLUSO
$C=(2^(1/2)/2,-1/2,1/2)$
$D=(-2^(1/2)/2,1/2,-1/2)$ ESCLUSO
E=$(-2^(1/2)/2,-1/2,+1/2)$ MINIMO ASSOLUTO

[anonymous_0b37e9]

Per quanto riguarda il primo insieme:

$\{((z-y)^2=2\lambdax),(-2x(z-y)=2\lambday),(2x(z-y)=2\lambdaz):} ^^ [x^2 + y^2+z^2=1] ^^ [z>y]$

le soluzioni mi risultano essere:

$[A(-sqrt3/3,-sqrt3/3,sqrt3/3)] vv [B(sqrt3/3,-sqrt3/3,sqrt3/3)]$

Per quanto riguarda il secondo insieme:

$\{((z-y)^2=0),(-2x(z-y)=-\lambda),(2x(z-y)=\lambda):} ^^ [z=y] ^^ [x^2 + y^2+z^2<1]$

le soluzioni mi risultano essere:

$[C(\alpha,\beta,\beta) ^^ \alpha^2+2\beta^2<1]$

Per quanto riguarda il terzo insieme:

$\{((z-y)^2=2\lambdax),(-2x(z-y)=2\lambday-\mu),(2x(z-y)=2\lambdaz+\mu):} ^^ [x^2 + y^2+z^2=1] ^^ [z=y]$

le soluzioni mi risultano essere:

$[D(\alpha,\beta,\beta) ^^ \alpha^2+2\beta^2=1]$

[cesare1]

Ogni volta questi sistemi mi danno un sacco di problemi con i calcoli. Grazie mille comunque sei stato gentilissimo. Un'ultima cosa se non ti scoccia:

Quando vado ad analizzare il bordo io solitamente faccio 4 passaggi per cercare i candidati:
Analizzo quindi
1) i punti di C in cui f non è differenziabile
2) i punti (x,y,z) di C in F non è differenziabile in un intorno di (x,y,z)
3) i punti in cui F è differenziabile, ma la Jacobiana di F non ha rango massimo
4) procedo con metodo dei moltiplicatori di Lagrange

Tu qui procedi unicamente con il metodo dei moltiplicatori di Lagrange, perché?
Il punto 3, nel caso ad esempio dell'insieme 1, si risolve in questo modo?

$JF(x,y,z)=(2x,2y,2z)$ e quindi ottengo che l'unico punto è $(0,0,0)$ ma non soddisfa la condizione $z>y$