Una fune inestensibile di massa trascurabile e di lunghezza $L = 2.5$ m può scorrere, senza incontrare attrito alcuno, nella gola della carrucola. A un capo della fune è appeso un corpo puntiforme di massa $m = 4kg$, che pende verticalmente, mentre l’altro capo della fune è l’estremo di una molla, avente l’asse di simmetria principale in configurazione verticale e l’altra estremità ancorata a un punto fisso O del pavimento della cabina dell’ascensore, come mostrato in figura.
La molla ha costante elastica $k = 196N/m$ e lunghezza di riposo $l_0 = 0.8 m$. Inizialmente il corpo puntiforme si trova in condizioni di equilibrio statico.
All’istante t = 0 l’ascensore viene messo in moto verso l’alto lungo la direzione verticale con accelerazione costante $a_0 = 4.9 m/s^2$. Nell’ipotesi che l’attrito con l’aria sia trascurabile, determinare nel sistema di riferimento unidimensionale Oz, solidale all’ascensore:
a) il diagramma delle forze agenti sul corpo puntiforme nello stato iniziale di quiete;
b) la tensione iniziale della fune;
c) la lunghezza iniziale della molla;
d) la reazione iniziale sviluppata dall’asse orizzontale passante per il centro C della carrucola;
e) l’equazione del moto del corpo di massa m dopo che l’ascensore è stato messo in moto accelerato;
f) l’allungamento della molla in corrispondenza della nuova posizione di equilibrio del corpo di massa m;
g) la frequenza di oscillazione della molla;
h) la legge oraria del moto del corpo puntiforme
di massa m.
SOL.:
prendo l'asse z orientato verso l'alto
a)
m:$sumvecF_i=vec0$
su m agiscono la forza peso e la tensione del filo. $m: vecP+vecT=vec0$
La tensione però è uguale alla forza elastisca, quindi su m si ha:
$-mg + T=0$
$T=mg$
$kDeltax=mg$, da cui $Deltax=(mg)/k=0.2m$
b) $T=kDeltax=39.2 N$
c) $Deltax=0.2m$
d)
sull'asse passante per il centro C della carrucola agiscono le due tensioni. La carrucola a sua volta reagisce con la reazione $R_c$.
$C: vecT + vecT +vecR_c=vec0$
$vecR_c=-2vecT$ da cui $R_c=2kDeltax=78.4N$
e), f), g), h)
$a_t=4.9m/s^2$.
$ma'= sumvecF_i + vecF_t$, con $vecF_t=-mveca_t$
$ma' = vecP + vecT - ma_t$
$ma' = mg - kDeltax - ma_t$ pongo $Deltax=chi$ e $w^2=k/m$
$ddotchi + w^2chi = g-a_t$
Soluzione generale = X_p + X_0 (particolare più sol. dell'omogenea associata)
$X_p (ddotchi==0) = (g-a_t)/w^2$
$X_o=Asen(wt+phi)$, con $A, phi$ che si determinano dalle condizioni iniziali $chi(0)=Deltax$ , $docchi(0)=0$.
$A=(g-a_t)/w^2$ e $phi=3pi/2$.
$chi(t)=(g-a_t)/w^2 * [1-cos(wt)]$
la frequenza di oscillazione è $f=1/T=1/(2pisqrt(k/m))=1/(2pi*sqrt(49))=1/(14pi)$.
