Dubbio ODE

[Henry!]

Salve! Ho un dubbio nel trovare il tipo di soluzione da ricercare nell'equazione:

$y''+4y = (e^x)*x$

Ora, dal polinomio caratteristico ricavo le radici $+-2i$, nella forma $lambda+-imu$;

non essendoci corrispondenza tra l'esponente di $e^x$ e le soluzioni del polinomio caratteristico, non devo porre nella soluzione alcun polinomio che ne bilanci il grado;

le soluzioni del polinomio caratteristico hanno molteplicità uno, quindi devo mettere nella soluzione un polinomio di grado uno del tipo $(ax+b)$;

arriviamo al mio dubbio:
se, in genere, l'equazione da applicare è del tipo $ y(x) = e^(lambdax) (ax+b)$, perchè nella soluzione del prof (verificato anche con Wolfram) mi ritrovo ancora il termine $e^x$ ?
Perchè, se come sopra ho lambda nulla, pensavo avrei avuto qualcosa del tipo: $y(x) = e^(0*x) (ax+b) = (ax+b)$

Grazie!

[fabyc]

Ciao, allora quello che dici è giusto solo che fai un po di confusione tra il $ lambda $ soluzione del polinomio caratteristico e quello della soluzione particolare. Allora ti conviene fare così:
scriviti il polinomio caratteristico come $ lambda^2 +4=0 $
da cui ricavi che $ lambda=+- 2i $ ,
a questo punto noti che in $ e^(lambda*x) $ , $ lambda=1!= +- 2i $ ,
allora la soluzione particolare che devi cercare è del tipo $ gamma = (Ax+b)*e^x $
Comunque se vai qui trovi una tabella che può esserti utile: http://www.dmmm.uniroma1.it/~alberto.be ... STANTI.pdf

[Henry!]

Ah, quindi il termine $e^(lambda*x)$ nella soluzione che tu hai chiamato $gamma$ c'è sempre? Solo che non va confuso con il lambda della soluzione particolare, che serve solo a determinare la presenza o meno del termine $x^h$, con h molteplicità della soluzione del polinomio caratteristico?

Grazie infinite!