Omeomorfismo esplicito fra n-cubi e n-simplessi

[freeDAM]

Dopo aver definito l'n-cubo come $ [0,1]^n $ e l'n-simplesso standard come $ {(x_1,...,x_{n+1})\in R^{n+1}: \sum_{i=1}^{n+1} x_i =1} $ vorrei trovare un omeomorfismo esplicito fra i due, magari a partire dal caso semplice in dimensione 2; qualcuno può aiutarmi? Grazie a tutti

[billyballo2123]

Uhm, direi
\[
(x_1,\ldots, x_n)\mapsto (x_1,\ldots,x_n,1-x_1-\ldots -x_n).
\]

(Attenzione! Nella definizione di $n$-simplesso standard ci devi anche mettere che $x_i\geq 0$ per ogni $i=1,\ldots,n+1$).

[vict85]

@ billyballo2123 : La tua funzione mappa \(\displaystyle (1,1,1,\dotsc, 1,1) \) in \(\displaystyle (1,1,1,\dotsc, 1, 1, 1-n) \) e \(\displaystyle 1-n \) è un numero negativo.

Per semplicità penso che è bene provare a costruirlo per gradi.

Per \(\displaystyle n = 1 \) si hanno \(\displaystyle I^1 = [0,1] \) e \(\displaystyle \Delta^1 = \{ (x,y)\in \mathbb{R}^2_{\ge 0} : x + y =1 \} \). In questo caso si usa la funzione di billyballo2123: \(\displaystyle \mathbf{r}(t) = \begin{cases} x = 0 + t \\ y = 1 - t \end{cases} \).

Per valori superiori a \(\displaystyle 1 \) questo non è più possibile. Per \(\displaystyle n=2 \) si sta mandando un quadrato in un triangolo equilatero. La trasformazione non potrà quindi essere certo semplice. Notiamo comunque che dobbiamo in ogni caso settare solo due dei tre valori, perché il terzo sarà comunque fissato come \(\displaystyle 1 - r_1(u,v) - r_2(u,v) \). Notiamo inoltre che un approccio come \(\displaystyle (u, v) \mapsto \bigl(u, uv, 1 - u(1 - v)\bigr) \) non va bene perché mappa tutta la retta \(\displaystyle (0, v) \) nel punto \(\displaystyle (0, 0, 1) \).

Un approccio che si può tentare è triangolarizzare il quadrato (dividendolo su una diagonale) e mandare questi due triangoli nei due triangoli costruiti tagliando il triangolo equilatero lungo una altezza. Non so se è chiaro. Eventualmente si può fare in più passaggi (insomma componendo diversi omeomorfismi).

A livelli superiori è ancora più difficile, ma forse una volta trovato un omeomorfismo per \(\displaystyle n=2 \) si possono ipotizzare gli altri.

[spugna]

Ci provo..!

Innanzitutto definiamo il simplesso $n$-dimensionale $\Delta$ come $\{ (x_1,...,x_n) \in \mathbb{R}^n | x_1+...+x_n <= \ 1, x_i >=0 \forall i \}$ (non è altro che la proiezione sull'iperpiano $x_{n+1}=0$ di quello definito in $\mathbb{R}^{n+1}$) e l'$n$-cubo $C$ come $[0,1]^n$, e costruiamo $f: \Delta \rightarrow C$ come segue: se $P \in \Delta$ è l'origine lo mandiamo nell'origine, mentre se è un altro punto chiamiamo $r$ la retta $OP$, definiamo i punti $Q_1,Q_2 \in r$ in modo che i segmenti $OQ_1$ e $OQ_2$ siano le intersezioni di $r$ con $\Delta$ e con $C$ rispettivamente, e mandiamo $P$ nel punto $P' \in r$ tale che $\frac{OP'}{OQ_2}=\frac{OP}{OQ_1}$. A questo punto però lascio tutte le verifiche a qualcuno che ha il tempo per farle

[billyballo2123]

@ billyballo2123 : La tua funzione mappa \(\displaystyle (1,1,1,\dotsc, 1,1) \) in \(\displaystyle (1,1,1,\dotsc, 1, 1, 1-n) \) e \(\displaystyle 1-n \) è un numero negativo.

oooooooooooops chiedo scusa

Avevo scritto quella mappa dopo aver letto la definizione di $n$-simplesso che dava freeDAM, poi ho aggiunto la nota in cui specifico che gli $x_i$ devono essere maggiori o uguali a zero dimenticando che in quel modo la mappa non andava più bene