Continuità dell'inversa

[alfiere15]

Buon pomeriggio.
Sto studiando il teorema di "Continuità dell'inversa per funzioni continue definite su compatti".
Non mi è molto chiara la dimostrazione, nello specifico le righe che iniziano con il simbolo (?). Potreste aiutarmi?
ENUNCIATO:
Sia $f: A -> B, A subset R, B subset R, A$ compatto. Indicata con $f^-1$ l'inversa, $f^-1 : B -> A$, essa è continua in $B$
DIMOSTRAZIONE:
Vogliamo dimostrare che considerato $y in B, forall {y_n}$ successione di elementi di $B$ convergente a $y$, allora $lim_(n-> +infty) f^(-1) (y_n) = f^(-1) (y)$
Supponiamo per assurdo che $lim_(n-> +infty) f^(-1) (y_n) ne f^(-1) (y)$
(?) Allora, $exists V in I_y : forall n in N, exists k_n > n : f^(-1) (k_n) notin V$
Denoto con ${x_n} = f^(-1) (y_n)$ e con $x=f^-1 (y)$
Consideriamo ${k_n}$ strettamente crescente.
Pertanto, $exists {x_(k_n)}$ successione estratta da ${x_n}$ tale che $forall n in N, x_(k_n) notin V$
Poiché $A$ è un compatto, possiamo estrarre da ${x_(k_n)}$ una successione ${x_n$*$}$ convergente:
$lim_(n -> +infty) x_n$*$ = x$*$ in A$
Essendo $f$ continua per ipotesi, $lim_(n-> + infty) f(x_n$*$) = f(x$*$)$
Ma $f(x$*$) = f(x)$
Per ingettività: $x$*$ = x$
(?) ASSURDO, poiché avevamo preso $x$* $ne x$

[gugo82]

Beh, sta negando la definizione di limite...

[alfiere15]

Non riesco a capire perché $k_n >n$
E poi, all'ultimo rigo, dice che noi abbiamo preso $x$* $ne x$... ma dove li abbiamo presi diversi?

[Seneca]

$ \lim_(n-> +infty) f^(-1) (y_n) ne f^(-1) (y) $

Da questo hai che esiste un intorno $V$ di $f^(-1) (y)$ ed esiste una sottosuccessione di $\{ f^(-1) (y_n) \}_n$ (diciamo $\{ f^(-1) (y_{n_k}) \}_{k}$) tale che $f^(-1) (y_{n_k}) \notin V$ per ogni $k$.

Osserva che $x_{n_k} \in A \setminus V$ che è un chiuso, quindi $x^\star \in A \setminus V$; invece $x = f^{-1} (y) \in V$. Quindi $x^\star \ne x$.

[alfiere15]

E, invece, perché posso affermare, al terzultimo rigo, che $f(x$*$) = f(x)$?