RenzoDF ha scritto:$\mathbf{A}(\mathbf{r})=\frac{\mu_0}{4\pi}\int_{V}^{ }\frac{\mathbf{J}(\mathbf{r}')}{|\mathbf{r}-\mathbf{r}'|}dV$
Infatti: ho notato che \(\frac{\mu_0}{4\pi}\int \frac{d\boldsymbol{l}}{\|\boldsymbol{x}-\boldsymbol{l}\|} \) diverge.
RenzoDF ha scritto:la prima è quella più semplice dell'analogia elettrostatica con il caso del potenziale relativo al filo carico infinito
Cioè?
RenzoDF ha scritto: la seconda è quella che passa dall'applicazione del teorema di Stokes, che ci permette di uguagliare la circuitazione di $\vec A$ lungo un percorso rettangolare [nota]Mi raccomando, considera due lati del rettangolo paralleli al filo.
Se \(\boldsymbol{A}\) esiste, allora $$\int_\Sigma\boldsymbol{B}\cdot\boldsymbol{N} d\sigma=\oint_{\partial^+\Sigma}\boldsymbol{A}\cdot d\boldsymbol{r}$$Parametrizzando il rettangolo, diciamo parallelo al piano $xz$ e intersecante l'asse delle $y$ in $(0,y_0,0)$, con \(\boldsymbol{s}:[-l,l]\times[-L,L]\to\mathbb{R}^3\), \(\boldsymbol{s}(x,z)=(x,y_0,z)\), possiamo riscrivere l'uguaglianza come$$\int_{[-l,l]\times[-L,L]} \boldsymbol{B}(x,y,z)\cdot\mathbf{j}dxdz=\int_{-l}^l \boldsymbol{A}(x,y_0,-L)\cdot\mathbf{i}dx+\int_{-L}^L \boldsymbol{A}(l,y_0,z)\cdot\mathbf{k}dz+\int_{l}^{-l} \boldsymbol{A}(x,y_0,L)\cdot\mathbf{i}dx$$ $$+\int_{L}^{-L} \boldsymbol{A}(-l,y_0,z)\cdot\mathbf{k}dz $$dove i prodotti scalari rispetto ai versori $\mathbf{i},\mathbf{j}$ e $\mathbf{k}$ non sono altro che le componenti rispetto agli assi $x,y$ e $z$ dei campi vettoriali. Da qui, però, non saprei come procedere, anche perché il flusso di \(\boldsymbol{B}\) mi sembra arduo da calcolare...
"Le dimostrazioni rendono bella la matematica e danno significato alla vita di un matematico" Choe Jaigyoung