Equazioni biquadratiche

[elliot]

Salve a tutti,
avrei bisogno di aiuto con la seguente equazione

$\frac{x^2-4}{x^2+2}+\frac{3+sqrt3}{2}=\frac{x^2+2}{x^2-4}$
.....salto dei passaggi...
$3x^4+sqrt3x^4-30x^2-2sqrt3x^2-8sqrt3=0$
$(3+sqrt3)x^4-(30+2sqrt3)x^2-8sqrt3=0$
$y=x^2$
$(3+sqrt3)y^2-(30+2sqrt3)y-8sqrt3=0$
$\Delta = (2sqrt3+30)^2-4(3+sqrt3)(-8sqrt3)$
$y_(1,2)=\frac{(30+2sqrt3)+-sqrt( (2sqrt3+30)^2-4(3+sqrt3)(-8sqrt3))}{2(3+sqrt3)}$
$y_(1,2)=\frac{(30+2sqrt3)+-sqrt(336(3+sqrt3))}{2(3+sqrt3)}$

a questo punto, posto che sia corretto fino a qui, non riesco a procedere oltre.
Il risultato riportato dal testo è $+-(1+sqrt3)$

Grazie mille!!

[andar9896]

Ricalcola meglio il delta, otterrai un radicale doppio scomponibile

[@melia]

Io avrei sostituito subito $\frac{x^2-4}{x^2+2}=t$ l'esercizio veniva $t+ (3+sqrt3)/2 =1/t$ che mi sembra più veloce, almeno nei primi passaggi.
Dopo, tra radicali doppi e razionalizzazioni multiple, ci sono parecchi conti anche in questa.

[elliot]

Grazie, ho ricalcolato il delta e effettivamente era sbagliato:

$\frac{(2sqrt3+30)+-sqrt((2sqrt3+30)^2+96(1+sqrt3))}{2(3+sqrt3)}$

ora riparto da qui....

[anto_zoolander]

$y_(1,2)=\frac{(30+2sqrt3)+-sqrt( (2sqrt3+30)^2-4(3+sqrt3)(-8sqrt3))}{2(3+sqrt3)}$

Riparto da quì. Potevi utilizzare il $Delta/4$ ottenendo

$(15+sqrt3pmsqrt((15+sqrt3)^2+8sqrt3(3+sqrt3)))/(3+sqrt(3))$

Sviluppando il quadrato dentro la radice

$252+54sqrt3=252+2*(9sqrt3)(3)$

l'ho così diviso poiché $(9sqrt(3))^2=243$ ed è il quadrato che più si avvicina a $252$. Poi così giusto per coincidenza abbiamo il $3$ nel doppio prodotto che al quadrato fa $9$ e sommato a $243$ fa $252$

$243+2(9sqrt3)(3)+9=(9sqrt3+3)^2$

Dunque ricordando che $y=x^2$ otteniamo

$x^2=(15+sqrt3pm(9sqrt3+3))/(3+sqrt3)$

In particolare ci sono solo 2 su 4 radici reali, lascio a te l'individuarne il motivo

$x^2=(15+sqrt3+(9sqrt3+3))/(3+sqrt3)=(18+10sqrt3)/(3+sqrt3)$

$x^2=((18+10sqrt3)(3-sqrt3))/((3+sqrt3)(3-sqrt3))=(24+12sqrt3)/6$

$x^2=(4+2sqrt3)<=>x=pmsqrt(4+2sqrt3)$

$x=pmsqrt2[sqrt((2+sqrt(4-3))/2)+sqrt((2-sqrt(4-3))/2)]$

$x=pmsqrt2[sqrt3/sqrt2+1/sqrt2]$

$x=pm(sqrt3+1)$

[elliot]

Col senno di poi non credo che sarei riuscito a trovare il quadrato del binomio dentro radice in breve tempo.
Posso però rispondere alla tua domanda sul perché ha due soluzioni e non quattro: il quadrato di un numero reale non può essere un numero negativo.
Grazie