esercizi spazi euclidei

[giovi095]

salve a tutti ragazzi, avrei bisogno di un aiuto su quest'esercizio:

In $RR^4$ dotato del prodotto scalare standard si consideri il
sottospazio

$\U = < (2,0,1,-1)^T$, $\(1,0,1,0)^T$, $\(1,-1,-1,0)^T>$


(a) Determinare una base ortonormale di $U$.
(b) Determinare una base ortonormale di $\U^bot$.
(c) L’unione di queste due basi è una base ortonormale di $\RR^4$ ?
(d) Determinare la proiezione ortogonale di $\e_1$ su $\U$.
(e) Determinare tutti i vettori del sottospazio $\W = ⟨e_1,e_4⟩$ la cui proie-
zione ortogonale su U appartiene al sottospazio $\⟨e_(1) + e_(4)⟩$.
(f) Determinare tutti i vettori del sottospazio $\W = ⟨e_1,e_4⟩$ la cui proie-
zione ortogonale su U appartiene al sottospazio $\⟨e_1 − e_4⟩$.

Questo esercizio lo avrei risolto in questo modo:
a)
dal momento che la matrice associata $\A = ((2,0,1,-1), (1,0,1,0),(1,-1,-1,0))$ ha $\rg(A) = 3$ (e quindi ha rango massimo), si ha che i tre vettori che costituiscono la matrice sono linearmente indipendenti, dunque $A$ è una base.

Dal momento che ho una base costituita dai tre vettori, per trovare una base ortonormale, divido ogni vettore per la sua norma:

$\U_(or)={1/(sqrt(6))(2,0,1,-1), 1/(sqrt(2))(1,0,1,0), 1/(sqrt(3))(1,-1,-1,0)}$
$\U_(or)={(2/(sqrt(6)),0,1/(sqrt(6)),-1/(sqrt(6))), (1/(sqrt(2)),0,1/(sqrt(2)),0), (1/(sqrt(3)),-1/(sqrt(3)),-1/(sqrt(3)),0)}$

b)
per trovare invece il complemento ortogonale, sviluppo il seguente sistema:

$\{(2x+z-w=0), (x+z=0), (x-y-z=0):}$
che risulta: (dimensione = 1 (n-rg(A))=1)
$\{(x=-t),(y=-2t),(z=t),(w=-t):}$
quindi per $\t=1$ posso ottenere una base
$\B(U^bot) = {(-1,-2,1,-1)^T}$

dal momento che ogni vettore è ortogonale a se stesso, non serve che trovi una base ortogonale, perché l'ho appena trovata. ciò che manca è la norma...

$\B(U^bot) = {((-1/(sqrt(7)),-2/(sqrt(7)),1/(sqrt(7)),-1/(sqrt(7)))^T}$

per la domanda c) io risponderei sì, ma non so come spiegarlo...

d)
per determinare la proiezione di un vettore su uno spazio, ciò che ho fatto, è "fare la somma delle proiezioni"

$\proj_U (e_1) = proj_(U_1) (e_1) + proj_(U_2) (e_1) + proj_(U_3) (e_1) $
$\proj_U (e_1) = ((e_1) * (U_1))/((U_1) * (U_1))(U_1)+((e_1) * (U_2))/((U_2)*(U_2))(U_2)+((e_1) * (U_3))/((U_3) * (U_3))(U_3)$
e ottengo $\ 2/6(2,0,1,-1)^T+(1/2,0,1/2,0)+(1/3,-1/3,-1/3,0) = (3/2,-1/3,1/2,-1/3)$
poi cerco un suo multiplo:
$\(9,-2,3,-2)$

(è corretto? non sono sicuro che sia giusto, dal momento che non ho i risultati)

e) $\W = < e_1$, $\e_4>$, quindi $\W=<(1,0,0,0)^T$ , $\(0,0,0,1)>$
per determinare TUTTI i vettori ho pensato ad una combinazione lineare tra i due:
$\{a e_1 + b e_4 : a, b in RR}$

$\proj_U(<a(e_1)+b(e_4)>) in <(e_1)+(e_4)> rArr <(1,0,0,1)^T>$
$\(x,y,z,w)^T in <(e_1) + (e_4)> hArr {(x=w), (y=z=0):}$

ma poi non so continuare... o forse ho sbagliato, non so... qualcuno mi può aiutare? vi ringrazio in anticipo.

[Antimius]

a) Attento che quello che stai facendo è semplicemente normalizzare i vettori, che non sono ortogonali tra loro. Per trovare una base ortonormale devi usare il procedimento di Gram-Schmidt (in realtà devi applicarlo solo al primo vettore, perché gli altri due sono già ortogonali, quindi basta normalizzarli).
c) Sì, poichè i vettori delle due basi sono 4 vettori ortogonali tra loro e vettori ortogonali sono anche linearmente indipendenti.
d) Il procedimento è giusto ma devi farlo rispetto alla giusta base Tieni anche conto che $U_1 \cdot U_1 = 1$ (e analogamente gli altri $U_i$) se la base è ortonormale, quindi non serve scriverlo
e) I vettori del primo sosttospazio sono della forma $(x,0,0,w)$ per $x,w \in \mathbb{R}$. Si tratta semplicemente di farne la proiezione come al punto precedente e vedere se questa appartiene al secondo sottospazio, cioè se è della forma $(t,0,0,t)$ per $t \in \mathbb{R}$.
f) In maniera simile al punto precedente. Prova a completare i dettagli.

[giovi095]

grazie per la risposta...
mi soffermo sulla risposta a)
quello che non ho capito è: ogni base OrtoNormale deve essere per forza costituita da vettori ortogonali fra loro?
d) giusto, ho fatto un errore stupido!
la base su cui sto operando non è quella giusta?

[Antimius]

Sì, una base è ortonormale se è costituita da vettori ortogonali e di norma $1$. Il d) va bene, ma devi prima trovare la giusta base nel punto a), perché quella non è ortonormale.