Concavità della funzione distanza dal bordo di un convesso

[alegubb]

Ciao a tutti,
Mi chiedevo se dato $\Omega\subset\mathbf{R}^n$ convesso e limitato, la funzione definita sullo stesso $\Omega$ \[dist(x,\partial\Omega):=\min_{y\in\partial\Omega}\{d(x,y)\}\]
fosse concava. Per me è vero, ma non sono riuscito a provarlo. Qualche suggerimento?

[Rigel]

Sì, è vero.
Siano \(x_0, x_1\in\Omega\) e, fissato \(\lambda\in [0,1]\), sia \(x := (1-\lambda) x_0 + \lambda x_1\).
Siano \(y_0, y_1, y\in\partial\Omega\) proiezioni rispettivamente di \(x_0, x_1, x\).
Sia \(\nu := \frac{x - y}{|x - y|}\).
Detto \(\pi:= \{z: \ (z-y)\cdot \nu = 0 \}\) l'iperpiano supporto a \(\Omega\) in \(y\), si ha che
\[
d(x) = |x-y| = (x-y)\cdot \nu = (1-\lambda)(x_0-y)\cdot\nu + \lambda (x_1-y)\cdot\nu
= (1-\lambda) d(x_0, \pi) + \lambda d(x_1, \pi)
\geq (1-\lambda) d(x_0) + \lambda d(x_1),
\]
dove \(d(x_j, \pi)\) indica la distanza di \(x_j\) dall'iperpiano \(\pi\).
Nell'ultimo passaggio abbiamo usato il fatto che
\[
d(z, \pi) \geq d(z) \qquad \forall z\in \Omega,
\]
disuguaglianza che segue facilmente nel seguente modo: dato \(z\in\Omega\), sia \(z'\in\pi\) la sua proiezione su \(\pi\), e sia \(y' = \partial\Omega \cap [z, z']\). Si ha \(d(z,\pi) = |z-z'| \geq |z-y'| \geq d(z)\).

[alegubb]

Grazie per la risposta, è chiarissima.
Mi è rimasto però un dubbio. Nel dimostrare $d_\pi(x)geq d(x)$ si è usato $z'\notin\Omega$. Come si dimostra che il piano $\pi$ giace tutto fuori $\Omega$ (o in altre parole che è tangente in $y$, se $y$ è un punto regolare di $\partial\Omega$)?

[Rigel]

Grazie per la risposta, è chiarissima.
Mi è rimasto però un dubbio. Nel dimostrare $d_\pi(x)geq d(x)$ si è usato $z'\notin\Omega$. Come si dimostra che il piano $\pi$ giace tutto fuori $\Omega$ (o in altre parole che è tangente in $y$, se $y$ è un punto regolare di $\partial\Omega$)?

Quello che sai è che, se \(\Omega\) è convesso, allora giace sempre da una sola parte di ogni suo iperpiano supporto.
(Questo ha a che vedere, in ambito più generale, col teorema di Hahn-Banach; nel caso euclideo può essere dimostrato in modo abbastanza semplice.)

[alegubb]

Ok, grazie mille.
Probabilmente sarà banale, ma non mi è chiaro però perché $\pi$ è un iperpiano di supporto. Penso che quà il teorema dell'iperpiano di supporto( https://en.wikipedia.org/wiki/Supporting_hyperplane ) non si può applicare al funzionale \[z\rightarrow\nu \cdot z\]
cioè $\exists z\in \Omega$ tale che $\nu\cdot z>\nu\cdot y$

[Rigel]

Ti propongo un argomento di tipo geometrico, poi vedi tu se hai voglia di formalizzarlo meglio.

Sia \(x\in\Omega\) e \(y\in\partial\Omega\) una sua proiezione sul bordo (cioè un punto che minimizza la distanza di \(x\) dal bordo di \(\Omega\)).
Definiamo, come fatto prima, \(\nu := \frac{x-y}{|x-y|}\) e
\[
\pi := \{z:\ (z-y)\cdot \nu = 0\}.
\]
Vogliamo dimostrare che \(\Omega\) sta tutto dalla stessa parte rispetto a \(\pi\) o, più precisamente, che
\[
(z-y)\cdot\nu \geq 0\qquad \forall z\in\Omega.
\]
Supponiamo per assurdo che ci sia un punto \(z\in\Omega\) tale che \((z-y)\cdot\nu < 0\).
Posto \(r := |x-y|\), per definizione di minima distanza abbiamo che \(B_r(x) \subset\Omega\); per convessità, il convessificato \(A\) di \(B_r(x)\) e del punto \(z\) (che è esterno a questa palla) è anch'esso contenuto in \(\Omega\).
D'altra parte, \(y\) è un punto interno di \(A\), in contrasto con l'ipotesi \(y\in\partial\Omega\).

[alegubb]

Grazie, mi è stato molto utile

[dissonance]

Sicuramente mi sfugge qualcosa, ma se $n=1$ e $\Omega=\{0\}$, io direi che
\[
\text{dist}(x, \partial \Omega) = |x|, \]
che non è una funzione concava (infatti è convessa). Mentre se \(\Omega =(-1, 1)\), la distanza dal suo bordo è una funzione a zig-zag che non è né concava né convessa. Perciò io avrei risposto che l'enunciato è falso.

Dove mi sbaglio?

[Rigel]

Sicuramente mi sfugge qualcosa, ma se $n=1$ e $\Omega=\{0\}$, io direi che
\[
\text{dist}(x, \partial \Omega) = |x|, \]
che non è una funzione concava (infatti è convessa). Mentre se \(\Omega =(-1, 1)\), la distanza dal suo bordo è una funzione a zig-zag che non è né concava né convessa. Perciò io avrei risposto che l'enunciato è falso.

Dove mi sbaglio?

Tipicamente, in questi casi, con abuso di notazione si intende che la funzione distanza è definita in \(\overline{\Omega}\) da
\[
d(x) := \inf_{y\in\partial\Omega} |x-y|, \qquad x\in\overline{\Omega},
\]
che coincide con la restrizione di \(\text{dist}(x, \mathbb{R}^n\setminus\Omega)\) a \(\overline{\Omega}\).

Spesso si usa anche la distanza con segno, definita su tutto \(\mathbb{R}^n\) da
\[
d^S(x) :=
\begin{cases}
\text{dist}(x, \mathbb{R}^n\setminus\Omega), & \text{se}\ x\in \overline{\Omega},\\
-\text{dist}(x, \Omega), & \text{se}\ x\in \mathbb{R}^n\setminus{\Omega}.
\end{cases}
\]

[alegubb]

Giusto, provvedo subito a specificarlo nel primo messaggio