Sono andato a rispolverare alcune vecchie nozioni di Analisi Matematica, e mi sono accorto di una cosa di cui, quando diedi l'esame, evidentemente non mi ero accorto. Il problema sta nell'interpretazione che devo dare a due punti dei libri di Analisi di Bramanti-Pagani-Salsa.
Volume 2, capitolo 8, paragrafo 1: commentando il teorema di Peano, esistenza di una soluzione per le equazioni differenziali, viene affermato:
Che la continuità di $f$ sia una richiesta naturale [per il teorema], si vede osservando la semplice equazione$y'=f(t)$,
le cui soluzioni sono le primitive di $f$; sappiamo che se $f$ ha, per esempio, una discontinuità a salto, non ammette alcuna primitiva.
A sostegno dell'ultima frase, una nota rimanda al primo volume, capitolo 6, paragrafo 4:
Tutte le funzioni possiedono una primitiva? Non tutte; si può mostrare che se una funzione presenta punti di discontinuità a salto in un intervallo [a,b] allora non può avere primitiva.
Ora, queste frasi dette così sembrano essere espresse con un valore universale, ossia che tutte le funzioni con discontinuità a salto non possono essere integrabili. Io però mi ricordavo diversamente, che cioè una funzione con discontinuità a salto può benissimo essere integrabile, ed è affermato anche in altri punti dello stesso libro. Sembra evidente che sono più arrugginito di quanto credessi, dove sto sbagliando?
