dissonance ha scritto:Sicuramente mi sfugge qualcosa, ma se $n=1$ e $\Omega=\{0\}$, io direi che
\[
\text{dist}(x, \partial \Omega) = |x|, \]
che non è una funzione concava (infatti è convessa). Mentre se \(\Omega =(-1, 1)\), la distanza dal suo bordo è una funzione a zig-zag che non è né concava né convessa. Perciò io avrei risposto che l'enunciato è falso.
Dove mi sbaglio?
Tipicamente, in questi casi, con abuso di notazione si intende che la funzione distanza è definita in \(\overline{\Omega}\) da
\[
d(x) := \inf_{y\in\partial\Omega} |x-y|, \qquad x\in\overline{\Omega},
\]
che coincide con la restrizione di \(\text{dist}(x, \mathbb{R}^n\setminus\Omega)\) a \(\overline{\Omega}\).
Spesso si usa anche la distanza con segno, definita su tutto \(\mathbb{R}^n\) da
\[
d^S(x) :=
\begin{cases}
\text{dist}(x, \mathbb{R}^n\setminus\Omega), & \text{se}\ x\in \overline{\Omega},\\
-\text{dist}(x, \Omega), & \text{se}\ x\in \mathbb{R}^n\setminus{\Omega}.
\end{cases}
\]