Funzione di Dirichlet discontinuità

[feddy]

Testo:

Provare che la funzione $ f(x)={ ( 1 if x in QQ ),(0if x in RR\\ QQ ):} $ è discontinua in ogni punto.


Nel caso qualcuno volesse provarci, lascio in spoiler il tentativo di risoluzione.

SOL.:

Testo nascosto, fai click qui per vederlo

Data la definizione di funzione continua:

Sia $f:mathbb(A) \subset RR rightarrow R$, $f$ si dice continua in $x_0$ $<=>$ $ forallepsilon>0 EE delta>0: |x-x_0|<delta, x in mathbb(I) =>|f(x)-f(x_0)|<epsilon $

la discontinuità si ottiene negando la precedente definizione, ovvero: $ EEepsilon>0 forall delta>0: |x-x_0|<delta, EEx in mathbb(I) : |f(x)-f(x_0)|>=epsilon $


Considero $a in QQ$ in un intorno $mathbb(I) (a,delta)$.

$|f(x)-1|>=epsilon$ e poichè in $mathbb(I) $ vi sono sia numeri razionali che numeri irrazionali: $1>=epsilon$. Prendendo $epsilon=1/2$ la discontinuità è soddisfatta.


Analogamente, prendo $b in RR\\QQ$.

Si ha ora $|f(x)-0|>=epsilon$, da cui come prima, $1>=epsilon$ e ancora per $epsilon=1/2$ si ha che è discontinua.


Può andare bene?

[Raptorista]

È un esercizio che tu proponi al forum o ti serve una mano per risolverlo?

[feddy]

In effetti sono stato poco chiaro nell'esporre, pardon !

E' un esercizio che ho trovato sul mio testo e mi chiedevo se la mia risoluzione fosse corretta !

[Raptorista]

Innanzitutto non mi piace come hai fatto la negazione della continuità, non mi sembra corretta.
Anche il resto non è molto comprensibile, la mia faccia fa come quella della tua immagine profilo quando leggo la tua dimostrazione.

[feddy]

Scusa ma non riesco proprio a capire dove sia errata la negazione della continuità.

Nella dimostrzione cerco un $epsilon >0$ tale per cui valga la negazione e sfrutto la densità di $Q \in RR$.

[Raptorista]

Ci sono più livelli di errore in quello che hai scritto. Per prima cosa, la definizione di continuità "\(\varepsilon\)-\(\delta\)" si da per un punto, diciamo \(x_0\), non per un intervallo in un colpo solo, quindi la tua definizione dovrebbe avere un intorno \(I_\delta (x_0)\) dove invece hai messo \(\mathbb A\).
In secondo luogo, nella negazione scritta nel tuo intervento iniziale c'è scritto che "se \(x \in \mathbb A\) allora \(|f(x) - f(x_0)| \ge \varepsilon\)". Questo è sbagliato sia perché, di nuovo, dovrebbe essere una definizione puntuale e dovrebbe comparire un intorno \(I_\delta (x_0)\), sia perché quello che invece dovrebbe comparire è che esiste una \(x_\varepsilon \in I_\delta (x_0)\) che verifica la disuguaglianza, non che tutte le \(x\) verificano la disuguaglianza.

[feddy]

Ora mi è chiaro !

Non riesco a capire come possa aver messo un intervallo... inoltre, grazie per aver fatto luce sulla negazione logica della continuità !

La $x_{epsilon}$ esiste perchè in ogni intorno vi sono sia razionali che irrazionali, giusto ?

[Raptorista]

Sono contento che ti sia chiaro adesso.
Sì, la definizione di continuità è negata in ogni punto perché ogni punto ha intervalli la cui immagine è \(\{0,1\}\). Poi puoi fare il giochetto degli \(\varepsilon\) per renderlo evidente, ma il concetto è questo.

[feddy]

Ho corretto la soluzione.

Grazie mille per il chiarimento !

[Fioravante Patrone]

Trovare le differenze rispetto a quanto scritto nello spoiler...

Sia $f:mathbb(A) \subset RR rightarrow RR$.

$f$ si dice continua in $x_0$ se:
$ forallepsilon>0$ $EE delta>0: forall x$ $(|x-x_0|<delta, x in mathbb(A) =>|f(x)-f(x_0)|<epsilon $)

la discontinuità si ottiene negando la precedente definizione, ovvero:

$ EEepsilon>0 forall delta>0: EEx in mathbb(A) :$ $ |x-x_0|<delta$ e $|f(x)-f(x_0)|>=epsilon $