Problemi sviluppo divergenza (in campo fluidodinamico)

[Raptorista]

Deduci l'espressione vettoriale nel senso che deduci quale espressione vettoriale ti dà gli elementi a cui arrivi.
Nel caso della tua espressione, sai che la divergenza di \(\rho u \otimes u\) è un vettore, quindi avrai un indice libero, sia \(j\).
L'elemento \(j\)-esimo del vettore risultante sarà
\[
(\nabla \cdot (\rho u \otimes u))_j = \sum_i \frac{\partial \rho u^j u^i}{\partial x^i} = \sum_i \rho u^j \frac{\partial u^i}{\partial x^i} + u^i \frac{\partial \rho u^j}{\partial x^i} = (\rho u \nabla \cdot u + u \cdot \nabla (\rho u))_j.
\]
Ma se le due quantità vettoriali sono uguali per ogni componente \(j\), allora sono uguali tra loro e concludi che
\[
\nabla \cdot (\rho u \otimes u) = \rho u \nabla \cdot u + u \cdot \nabla (\rho u)
\]
che è la formula che volevi.