Equazione differenziale non lineare al primo ordine

[Uboot-571]

Salve,
avete qualche idea per risolvere questa equazione differenziale? O se magari l'avete già vista risolta in letteratura

$ (y')y+a[sin(x)]y+b[cos(x)]=0 $

Dove a,b appartengono ai reali e b>0

Se qualcuno puo' suggerirmi qualcosa mi farebbe un grande favore. Vi ringrazio anticipatamente !

[.Ruben.]

Senza dubbio una buona idea è trasformare seni e coseni in funzioni esponenziali complesse
Poi dai un occhio qui: http://eqworld.ipmnet.ru/en/solutions/ode/ode-toc1.htm
Se dovresti ancora avere problemi cerca su Wolfram alpha
Ma secondo me(ad occhio, posso sbagliarmi alla grande) non è risolvibile così facilmente

[.Ruben.]

http://eqworld.ipmnet.ru/en/solutions/ode/ode0125.pdf
L'eq. imponendo $z = -cos(x)$ diventa
$y (dy)/(dz) + ay \pm b z/(\sqrt{1-z^2})$

[Uboot-571]

a

[Uboot-571]

http://eqworld.ipmnet.ru/en/solutions/ode/ode0125.pdf
L'eq. imponendo $z = -cos(x)$ diventa
$y (dy)/(dz) + ay \pm b z/(\sqrt{1-z^2})$

Ciao Ruben, innanzituto ti ringrazio molto per il tuo tempo e per avermi indirizzato a capire che tipo di equazione è quella ( già sapere che è stata risolta e studiata da qualche parte in letteratura è un passo avanti).
Cosi facendo però il problema di fa molto complicato in quanto l'equazione differenziale di partenza è la seguente:


$ z''+a*[sin(z)]*z'+b*[cos(z)]=0 $ dove $ z=f(x)$

Dove facendo la sostituzione $ z'=y(z)$ ottengo quella citata nell'apertura di questo post.

Ho gia verificato che quella sopra all'inizio del post( quella dove compare la y per capirsi) non puo' essere risolta come un differenziale esatto in quanto la forma differenziale associata non è chiusa.

Ora sto provando un approccio in serie di potenze del tipo : $ z=$ $\sum_{n=0} ^\infty\(a_n)x^n$ ma lo ammetto non è proprio il mio forte questo tipo di approccio, per cui non sono molto sicuro.....Lo sto provando in quanto come molti si ricorderanno è cosi che si risolveva l'equazione del calore di Fourier, ma quella era lineare, mentre questa no .

[Uboot-571]

Ah inoltre su Wolfram alpha non mi da soluzione in quanto supera il tempo di calcolo :S

[.Ruben.]

Ma da dove l'hai presa quest'equazione?
Ho controllato su un libro che contiene (con un piccolo quasi) tutte le ODE risolte, e c'è effettivamente l'equazione di Abel del secondo tipo, che è: $y y' = f(x)y + g(x)$
La cosa problematica è che l'equazione di Abel diventa quasi-risolvibile(non è un termine tecnico tranquillo) se si trasforma in un equazione del primo tipo ( $y y' = y + h(x)$ )
Le equazioni di Abel del primo tipo sono già state risolte solo in particolarissimi casi; ho controllato personalmente su molte fonti senza purtroppo trovare il tuo caso...
In ogni caso dovrebbe essere teoricamente possibile(ammesso che sia risolvibile analiticamente) escogitare un metodo risolutivo ad hoc; purtroppo nella quasi totalità dei casi già risolti nelle soluzioni si usano funzioni di Bessel(che non sono proprio facili)
Se è per un problema di fisica secondo me fai prima a trovare un metodo di risoluzione numerico

[Uboot-571]

Ma da dove l'hai presa quest'equazione?
Ho controllato su un libro che contiene (con un piccolo quasi) tutte le ODE risolte, e c'è effettivamente l'equazione di Abel del secondo tipo, che è: $y y' = f(x)y + g(x)$
La cosa problematica è che l'equazione di Abel diventa quasi-risolvibile(non è un termine tecnico tranquillo) se si trasforma in un equazione del primo tipo ( $y y' = y + h(x)$ )
Le equazioni di Abel del primo tipo sono già state risolte solo in particolarissimi casi; ho controllato personalmente su molte fonti senza purtroppo trovare il tuo caso...
In ogni caso dovrebbe essere teoricamente possibile(ammesso che sia risolvibile analiticamente) escogitare un metodo risolutivo ad hoc; purtroppo nella quasi totalità dei casi già risolti nelle soluzioni si usano funzioni di Bessel(che non sono proprio facili)
Se è per un problema di fisica secondo me fai prima a trovare un metodo di risoluzione numerico

Ti ringrazio per la tua disponibilità e chiarezza !
Ci sto lavorando abbastanza e spero di riuscire a trovare una soluzione analitica, in quanto una soluzione numerica mi lascerebbe con l'amaro in bocca come si suol dire, oltre al fatto che per come la vedo io sarebbe un lavoro a metà.
La soluzione di questa eq. diff. mi servirebbe per risolvere un problema di meccanica strutturale un pò lungo da spiegare qui.
Ti posso chiedere di farmi sapere come si chiama il libro che hai consultato sulle EDO? Magari riesco a prendere spunto da qualche soluzione !
Ti ringrazio ancora molto per il tuo aiuto, mi hai dato una grande mano ! Nel caso riuscissi a risolverla ti farò sapere