[Invertibilità di una funzione definita a tratti] Esercizio

[Magma]

Calcolare per quale $alpha in RR$ la funzione $f(x)$ è invertibile

$f(x)={ ( alpha+sinx; x in[-pi/2,0) ),( cosx+arccos(x/pi); x in [0,pi] ):}$

Io pensavo di usare il Teorema della derivata inversa.

Intanto la funzione è continua se

$lim_(x->0^-)alpha+sinx=alpha=lim_(x_0^+)cosx+arccos(x/pi)=1+pi/2$

$alpha=1+pi/2$

la monotonia l'ho verificata notando che, nei rispettivi intervalli, sono combinazioni lineari di funzioni strettamente invertibili; quindi posso applicare il teorema.

Ho visto che

$lim_(h->0^-)((f(0+h)-f(0))/h)=lim_(h->0^-)((alpha+sin(h))/h)=+oo$

$lim_(h->0^+)((f(0+h)-f(0))/h)=lim_(h->0^+)(cos(h)+arccos(h/pi)-1-pi/2)/h=-1/pi$¹²

Però il teorema non mi garantisce che, se non esiste la derivata, allora non esiste nemmeno la funzione inversa; che strada dovrei prendere?

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Note

1. Dopo aver applicato De L'Hospital ↑
2. Stavo notando che, visto che ho dovuto fare De L'Hospital, conveniva verificare direttamente $lim_(x->0)f'(x)$ e $lim_(x->o^+)f'(x)$. ↑

[Luca.Lussardi]

Non ho capito bene quello che hai fatto, prima di tutto la continuita' non serve, cosi' come non serve la derivabilita'. Quello che serve e' la stretta monotonia, per questa si una strada utile puo' essere controllare il segno della derivata.

[Magma]

Non ho capito bene quello che hai fatto, prima di tutto la continuita' non serve, cosi' come non serve la derivabilita'.

Io pensavo di usare il Teorema della derivata inversa che mi garantisce, a seconda delle ipotesi, se è derivabile e quanto vale la derivata in un determinato punto (e quindi che esiste l'inversa della funzione); però una funzione per essere derivabile deve essere continua: e pensavo di aver determinato così il valore di $alpha$. Inoltre si chiedeva di calcolare per quale valore di $alpha$ fosse continua, quindi pensavo fosse un suggerimento.

Quello che serve e' la stretta monotonia, per questa si una strada utile può essere controllare il segno della derivata.

$f'(x)={ ( cosx; x in[-pi/2,0) ),( -sinx-1/sqrt(pi^2-x^2); x in [0,pi) ):} $

$cos(x)>=0 in [-pi/2;0) rArr alpha +sin(x)$ è strettamente crescente.

$-sinx-1/sqrt(pi^2-x^2)$: questa non saprei come risolverla, però ragionando potrei dire che:

$sin(x)>=0$ in $[0,pi] rArr -sin(x)<=0$ in $[0,pi]$;

analogamente $1/sqrt(pi^2-x^2)>0$ in $[0,pi) rArr -1/sqrt(pi^2-x^2)$ in $[0,pi)$.

Pertanto $-sinx-1/sqrt(pi^2-x^2)$ è complessivamente negativa in $[0,pi)$; quindi $cos(x)+arccos(x/pi)$ è strettamente decrescente.


In conclusione dato che nell'intervallo $[-pi/2;0)$ la funzione è strettamente crescente e in $[0,pi]$ è strettamente decrescente, posso concludere che la funzione non è ingettiva, cioè non è invertibile per ogni $alpha in RR$. Giusto?

EDIT: dato che la continuità non serve e che $alpha$ rappresenta una traslazione sull'asse $y$, per $alpha in (-oo, 0)uu(pi,+oo)$ la funzione è iniettiva; e quindi invertibile. Corretto?