Esercizio semplice su anello quoziente

[feddy]

Testo:
Sia $ K=mathbb(Z//3Z) $ e $ F=K[X]//(f) $ , dove $f$ è il polinomio

$f:=X^2+X+2$

a)$F$ è campo?
b)Si determini il grado dell’estensione$[F:K]$
c)Si elenchino gli elementi di $F$.
d)Si scriva $f$ come prodotto di fattori lineari in F[x].

Sol.:

a)$F$ è campo poiché $f$ è di grado 3 e irriducibile in $K$.

b)Il grado dell'estensione è 2 e una sua base è data da $B={1,overline(X)}$.

c) $F={a+boverline(X):a,b in K}.$ Poichè $K$ è $mathbb(Z//3Z)$ $F$ ha 9 elementi, e questi vengono ad essere

$F={overline(0),overline(1),overline(X),overline(1+X),overline(1+2X),overline(2),overline(2+X),overline(2+2X),overline(2X)}$

d)Qui non so come procedere.

Dal thm. di Kronecker so che $alpha=overline(X)$ è un zero, ma chiaramente mi manca l'altro.

Sapendo inoltre che:

$overline(X^2) + overline(X) + overline(2)=overline(0)$, posso ricavare informazioni del tipo $overline(X^2)=overline(1) +overline(2X)$, oppure $overline(1)=overline(X^2)+overline(X)$.

Però non so come altro muovermi...

[spugna]

Se guardi i coefficienti del polinomio puoi osservare che la somma delle radici è $-1$...

[feddy]

grazie della risposta !

Scusa, ma non riesco a osservare questo fatto... io le radici non le conosco. Mi sto perdendo in un bicchiere d'acqua, me lo sento

[feddy]

Penso di aver risolto

Sapendo che uno zero è $overline(X)$, per il teorema di Ruffini so che $X-overline(X)$ divide il polinomio.

La divisione tra polinomi è possibile effettuarla in quanto siamo in un anello euclideo.

Poiché siamo in $mathbb{Z//3Z}$, allora $X-overline(X)=X+overline(2X)$.

Ho fatto la divisione tra $X^2+X+2$ e $X+overline(2X)$, ottenendo resto $overline(X^2) + overline(X) + overline(2)=overline(0)$ e come risultato $X+1+overline(2X)$.

Quindi l'altro fattore è proprio $X-(1+overline(2X))$.

[feddy]

Che ne dici @spugna?

[spugna]

Ti dovrebbe venire $X-(2 \overline{X}-1)$, prova a rifare l'ultimo conto...

In ogni caso, il senso della mia risposta era questo: hai un polinomio $X^2+aX+b$, di cui vuoi trovare le radici $X_1$ e $X_2$, ma allora per Ruffini bisogna trovare gli elementi del campo tali che il polinomio di partenza si scomponga in $(X-X_1)(X-X_2)$, cioè, uguagliando i coefficienti, $X_1+X_2=-a$ e $X_1X_2=b$. Tu però conosci già una radice, quindi con una delle due equazioni appena scritte puoi calcolare in un attimo l'altra.

[feddy]

Tutto chiaro !

Grazie per la risposta, la mia era poco più di una curiosità. Grazie per essere stato "in ascolto"