Integrale di linea

[Sanji]

Buonasera.
Mi sto cimentando da poco con gli integrali di linea; non ho avuto problemi con nessun esercizio tranne che con un paio che mi risultano particolarmente ostici. Riporto il testo di uno sperando di riuscire poi a venire a capo anche dell'altro

Determinare il valore del seguente integrale di linea di prima specie $ int_(γ)arctan(y/x) ds $ dove $ γ $ è la spirale di Archimede: $ rho = vartheta , vartheta in [0,pi/2] $

Suppongo di dover risalire alle coordinate parametriche, ma come provo non trovo una soluzione che mi dia il risultato corretto

[billyballo2123]

Essendo le coordinate polari
\[
\left\{
\begin{array}{l}
x=\rho\cos\vartheta \\
y = \rho\sin\vartheta
\end{array}
\right.
,
\]
ed essendo $\gamma$ definita dalla relazione $\rho=\vartheta$, segue che la parametrizzazione della curva è
\[
\gamma(\vartheta)=\big(x(\vartheta),y(\vartheta)\big)=(\vartheta\cos\vartheta,\vartheta\sin\vartheta).
\]
Quindi l'integrale sarà
\[
\int_{\gamma}\arctan\bigg(\frac{y}{x}\bigg)ds=\int_0^{\pi/2}\arctan\bigg(\frac{y(\vartheta)}{x(\vartheta)}\bigg)||\gamma'(\vartheta)||d\vartheta=\int_0^{\pi/2}\arctan\bigg(\frac{\vartheta\sin\vartheta}{\vartheta\cos\vartheta}\bigg)\sqrt{1+\vartheta^2}d\vartheta \\=\int_0^{\pi/2}\arctan(\tan\vartheta)\sqrt{1+\vartheta^2}d\vartheta=\int_0^{\pi/2}\vartheta\sqrt{1+\vartheta^2}d\vartheta.
\]
A questo punto dovresti riuscire a risolverlo

[Sanji]

Cavoli, hai ragione! Ero talmente abituato coi numeri complessi a indicare il modulo con $ rho $ che qui lo consideravo come la norma
Grazie per la risposta!

[billyballo2123]

Cavoli, hai ragione! Ero talmente abituato coi numeri complessi a indicare il modulo con $ rho $ che qui lo consideravo come la norma

In effetti qui $\rho$ è la norma:
\[\rho=||(x,y)||=\sqrt{x^2+y^2}.
\]

Grazie per la risposta!

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