combinazione lineare di vettori

[airfradi43]

Dati i seguenti vettori A=(4,1,2), B=(7, -8, 0), C=(4, 1, 3) determinare
un nuovo vettore D che risulti combinazione lineare dei tre vettori dati.

[cooper]

dovresti postare una bozza di soluzione, comunque dato che è il primo post....
una combinazione lineare detto in poche parole consiste nel moltiplicare i vettori per una certa costante e poi sommarli tra loro. formalmente si scrive come $ a_1v_1+a_2v_2+...+a_nv_n $ dove le a sono degli scalari (appartengono cioè al campo K) mentre le v sono dei vettori. nel tuo esempio una combinazione lineare è:
$ D=alphaA+betaB+gammaC $ dove A,B,C sono i tuoi tre vettori e $ alpha,beta,gamma in RR $ sono numeri qualsiasi

[airfradi43]

Su questi concetti di base ci siamo. Il problema e come faccio a trovare il nuovo vettore D che sia linearmente dipendente da A,B e C ? Per definizione il vettore è una n-pla di numeri (x1,x2,...,xn). La soluzione penso dovrebbe partire nel trovare γ1, γ2 e γ3, a sistema... Ma le coordinate del nuovo vettore come faccio a trovarle in maniera analitica ?

[Magma]

La definizione di vettore combinazione lineare di altri vettori è quella scritta da cooper:

$alphaA+betaB+gammaC=D$, $AA alpha,beta,gamma in RR $

Questo significa che per qualsiasi valore dei tre scalari $alpha, beta, gamma$ tu scelga, il vettore risultante sarà combinazioone lineare dei precedenti!

Puoi scegliere $(1,0,1)$, $(0,0,1)$ oppure $(2015,2016,2017)$; dipende da quanta voglia tu abbia nel fare dei calcoli

[cooper]

La definizione di vettore combinazione lineare di altri vettori è quella scritta da cooper:

$ alphaA+betaB+gammaC=D $, $ AA alpha,beta,gamma in RR $

Questo significa che per qualsiasi valore dei tre scalari $ alpha, beta, gamma $ tu scelga, il vettore risultante sarà combinazioone lineare dei precedenti!

Puoi scegliere $ (1,0,1) $, $ (0,0,1) $ oppure $ (2015,2016,2017) $; dipende da quanta voglia tu abbia nel fare dei calcoli

esattamente

[airfradi43]

Allora come leggete dalla traccia presa in considerazione, i 3 vettori A,B,C, sono già noti, il problema sussiste nel calcolo del vettore D... so come impostare la relazione per vedere la lineare dipendenza tra n vettori. Si mette a sistema e si trovano i corrispettivi γ... fin qui è tutto ok. Ma il D visto che è ignoto è possibile che abbia come coordinate al suo interno coordinate ignote ? Penso possa essere espresso come D= (x,y,z), di cui x, y e z, saranno le mie incognite con i corrispettivi scalari, per definizione di lineare dipendenza: γ1A(4,1,2)+γ2B(7,-8,0)+γ2C(4,1,3)=D(x,y,z).

[cooper]

la traccia ti chiede un qualunque D combinazione lineare. per cui dalle relazioni che ti ho scritto scegli 3 valori dei parametri come più ti aggradano e poi svolgi i relativi calcoli (prodotti e somme). ti faccio vedere:
$D=alphaA+betaB+gammaC=e^pi ( ( 4 ),( 1 ),( 2 ) ) +e^(pi^pi) ( ( 7 ),( -8 ),( 0 ) )+1( ( 4 ),( 1 ),( 3 ) )=( ( 4e^pi ),( e^pi ),( 2e^pi ) ) +( ( 7e^(pi^pi) ),( -8e^(pi^pi) ),( 0 ) )+( ( 4 ),( 1 ),( 3 ) )=( ( 4e^pi+ 7e^(pi^pi)+4 ),( e^pi -8e^(pi^pi)+1 ),( 2e^pi +3 ) )$
il vettore che abbiamo scritto è combinazione lineare dei tuoi tre vettori e senza risolvere alcun sistema. Per risolvere ho considerato $ alpha=e^pi;beta=e^(pi^pi);gamma=1 $

Su questi concetti di base ci siamo.

ti consiglio di ripassare la definizione di combinazione lineare (che si traduce poi in DIPENDENZA lineare).

[Magma]

Non capisco quale sia il problema.

Hai tre vettori noti, e ti si chiede di esprimere un vettore $D$ qualsiasi che sia combinazione lineare degli altri.

$D$ è combinazione lineare di $A,B,C hArr D=alphaA+betaB+gamma C$

Basta fare variare i coefficienti:

se si considera $alpha=beta=gamma$ si ha $D=((0),(0),(0))$

per $alpha=1, beta=0, gamma=0$, si ha $D=((4),(1),(2))=A$

Su questi concetti di base ci siamo.

ti consiglio di ripassare la definizione di combinazione lineare (che si traduce poi in DIPENDENZA lineare).

Secondo me il problema è di comprensione del testo!

[cooper]

Secondo me il problema è di comprensione del testo!

può darsi, spero adesso sia più chiaro e che abbia sciolto i dubbi.

[anto_zoolander]

uno solo?
$(4,1,2)+(7,-8,0)+(4,1,3)=(4+4+7,1-7+1,2+0+3)=(15,-5,5)$

$(15,-5,5)$ è ottenuto dalla combinazione lineare dei tuoi vettori con scalari tutti unitari

o se preferisci anche $(0,0,0)$

Se in realtà ti serve un qualunque vettore dato da quei tre basta vedere cosa generano.

$ A=( ( 4 , 7 , 4 ),( 1 , -8 , 1 ),( 2 , 0 , 3 ) ) $

puoi facilmente vedere che il $rank(A)=3$
Quindi formano una base per $RR^3$ e quindi generano un qualsiasi vettore del tipo $(x,y,z)$

Se ancora non ti convince poni

$a(4,1,2)+b(7,-8,0)+c(4,1,3)=(x,y,z)$

Oppure se ti trovi meglio(che poi è la stessa cosa)

$( ( 4 , 7 , 4 ),( 1 , -8 , 1 ),( 2 , 0 , 3 ) )( ( a ),( b ),( c ) ) = ( ( x ),( y),( z) )$

E risolvi il sistema

${(4a+7b+4c=x),(a-8b+c=y),(2a+3c=z):}$

Ora non so a che punto sei con i sistemi lineari però se hai fatto rouchè-capelli e cramer

$rank( ( 4 , 7 , 4 ,x ),( 1 , -8 , 1 ,y),( 2 , 0 , 3,z ))leq3$

E siccome già abbiamo visto che la sotto matrice $A$ ha rango $3$ allora il sistema è compatibile e ha $infty^(n-r)=1$ soluzione.
È chiaro che si ha una soluzione determinata per ogni valore di $x,y,z$ già questo la dice lunga e dovrebbe bastare per farti dire che genera tutto $RR^3$

Poi sono conti.

In totale accordo con quanto hanno detto gli altri, ho scritto questo mappazzone solo per dirti che una soluzione la trovi in molti modi