Ciao Guido, grazie per la risposta.
Guido_1996 ha scritto:Ciao,
penso che, una volta dimostrato $ (X^2-3,2X+4)=(2,X^2+1) $, sia possibile ragionare col terzo teorema di omomorfismo.
$ (2) sube (2,X^2-1) sube ZZ[X] $, per cui $ ((ZZ[X])/((2)))/(((X^2+1;2))/((2)))~= (ZZ[X])/(X^2+1;2) $.
non l'ho mai fatto, non riesco a capire l'uguaglianza...
Chiedo scusa, mi dimentico sempre di specificare i prerequisiti: l'esame è di algebra 1, le nozioni che ho sono la definizione di anello quoziente e il teorema di omomorfismo per cui l'anello quoziente A/I, con I = ker f, è isomorfo all'immagine f(A).
Per quanto riguarda le cardinalità dei quozienti, mi sono chiari il caso di $A/(p(x))$ dove A è un anello di polinomi euclideo (perché posso ragionare con i resti) e i casi analoghi a $(Z[i])/(10)$ perché posso partire da un isomorfismo tra $Z[i]$ con $ZxZ$ ecc. ecc.
Esempio: $A/I = (Z_2[x])/(x^2+1)$ so che ha cardinalità 4, perché sono 4 i polinomi di grado 1 in $Z_2[x]$. Ma, tanto per capire, se voglio ritrovare questo fatto con il teorema di omomorfismo che conosco io, posso?
Cardinalità 4 ce l'hanno $Z_4$ e $(Z_2[x])/(x)$ x $(Z_2[x])/(x)$. Ho provato quindi a costruire un isomorfismo $f$ verso questi insiemi. Verso $Z_4$ non ci sono riuscita; verso $(Z_2[x])/(x)$ x $(Z_2[x])/(x)$ ho pensato di fare una cosa del genere (forse è una cavolata):
Parto da una prova: a cosa posso associare $x^3+x+1$?
"Divido" in due il polinomio, dato che devo andare nel prodotto cartesiano, cioè scrivo il polinomio come somma di due polinomi:
scrivo $x^3+x+1 = (x^3+x)+1 = x(x^2+1)+1$ (perché lo dico dopo)
Associo a ogni termine della somma il resto della sua divisione per $x$:
$x(x^2+1)+1 \mapsto (0; 1)$.
Facendo così il nucleo di f è (x) e posso applicare il teorema di omomorfismo.
Ha qualche senso? Non mi convince il fatto che non mi sembra costruita tanto bene la funzione: non so se è univoca e dovrei dimostrare che è un omomorfismo.
p.s. Mi sa che ho anche fatto un circolo vizioso: ho scelto $(Z_2[x])/(x)$ x $(Z_2[x])/(x)$ ma forse sarebbe stato più corretto prendere $(Z_2[x])/(x+1)$ x $(Z_2[x])/(x+1)$, perché $(x+1)^2=x^2+1$