Omomorfismi di gruppo

[jinsang]

Qualcuno saprebbe consigliarmi una dispensa in rete dove viene spiegato come contare gli omomorfismi tra gruppi in maniera completa, magari distinguendo i casi più semplici e "visualizzabili" da quelli più "teorici" e facendo anche qualche esempio. Lo so sto chiedendo moltissimo ma mi affido all'esperienza di chi sicuramente ha navigato più di me
Grazie in anticipo!

[jinsang]

Per esempio sapreste dirmi quando vale la seguente affermazione:
Consideriamo due gruppi $G$ e $G'$, consideriamo $G$ generato da $<g_1,g_2,...,g_n>$; allora contare gli omomorfismi $phi: G rarr G'$ equivale a contare le possibili immagini $phi(g_1),phi(g_2),...,phi(g_n)$ dove l'unica condizione da rispettare è $o(phi(g_i))|o(g_i)$ per ogni $i$ compreso tra $1$ ed $n$.
Ad esempio se ho $phi:Z_2\times Z_6 \times Z_8 rarr Z_4 \times Z_10$ procederei considerando come generatori del primo gruppo $(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)$;
poi guardo gli ordini: $o(1,0,0)=2; o(0,1,0)=6; o(0,0,1)=8$;
quindi pongo: $phi(1,0,0)=(a,b)$ e impongo $o(a,b)|2$
$phi(0,1,0)=(c,d)$ e $o(c,d)|6$,
$phi(0,0,1)=(e,f)$ e $o(e,f)|8$.
Adesso osservo che: $o(a,b)|2 \Leftrightarrow 2(a,b)=0 \Leftrightarrow { ( 2a-= 0 mod4 ) ,( 2b-=0 mod10 ):}$
Similmente $o(c,d)|6 \Leftrightarrow 6(c,d)=0 \Leftrightarrow { ( 6c-= 0 mod4 ) ,( 6d-=0 mod10 ):}$
$o(e,f)|8 \Leftrightarrow 8(e,f)=0 \Leftrightarrow { ( 8a-= 0 mod4 ) ,( 8b-=0 mod10 ):}$
Infine conto le coppie che risolvono per ogni sistema, moltiplico e ho finito.
In particolare in questo caso (se non sto scavolando) avrò $4*4*8=128$ omomorfismi possibili (sembrano tanti ).
Vi prego datemi delucidazioni in merito. Anche riguardo all'esempio, sarebbe forse stato conveniente spezzare e ricomporre con il teorema cinese del resto? (quello che dice $Z_(mn)~= Z_m \times Z_n \Leftrightarrow (m,n)=1$).
(Mi scuso se alcune notazioni sono un po' dubbie, ma so usare latex così così).

[Stickelberger]

allora contare gli omomorfismi ϕ:G→G' equivale a contare le possibili
immagini ϕ(g1),ϕ(g2),...,ϕ(gn) dove l'unica condizione da rispettare
è o(ϕ(gi))∣o(gi) per ogni i compreso tra 1 ed n.

Se metti qualche condizione di indipendenza sui generatori $g_i$, allora per gruppi
commutativi la tua idea funziona piu' o meno. Ma temo che per gruppi non commutativi
il problema sia piu' difficile. Ci sono piu' condizioni.

Invece per gruppi abeliani finiti $G$ e $H$ possiamo usare il fatto che sono
prodotti di gruppi ciclici. Diciamo che

$G=\prod_{i=1}^tZZ_{n_i}$ $\ \ \ $ e $\ \ \ $ $H=\prod_{j=1}^sZZ_{m_j}$

Allora si ha che

$Hom(G,H) \ \ = \ \ \prod_{i=1}^t\prod_{j=1}^s Hom(ZZ_{n_i}, ZZ_{m_j})$.

Poiche’ $Hom(ZZ_{n_i}, ZZ_{m_j})$ e' un gruppo ciclico di cardinalita’ $mcd(n_i,m_j)$,
si ha che

$\#Hom(G,H)\ \ =\ \ \prod_{i=1}^t\prod_{j=1}^s mcd(n_i,m_j)$.

Infatti, nel tuo esempio, questa formula da $128$ omomorfismi.

[jinsang]

Prima di tutto grazie mille per avermi risposto, te ne sono davvero grato, una formula chiusa così era proprio ciò che mi serviva .
Però avrei ancora qualche dubbio, per esempio quando dici:

Se metti qualche condizione di indipendenza sui generatori $g_i$, allora per gruppi
commutativi la tua idea funziona piu' o meno.

Cosa intendi con condizioni di indipendenza? Si risolvono sostanzialmente con l'osservazione che fai dopo?

Invece per gruppi abeliani finiti $G$ e $H$ possiamo usare il fatto che sono
prodotti di gruppi ciclici

.

$ Hom(G,H) \ \ = \ \ \prod_{i=1}^t\prod_{j=1}^s Hom(ZZ_{n_i}, ZZ_{m_j}) $.

Questa formula era intesa per la cardinalità dei due insiemi o stai dicendo che sono proprio la stessa cosa? Io sarei più propenso a dire cardinalità, ma in algebra sono debole, quindi può darsi che siano la stessa cosa e sia io a non rendermene conto. Oppure, terza opzione, intendi che sono isomorfi come gruppi. (dimmelo se sto scavolando ahah)

Poiche’ $ Hom(ZZ_{n_i}, ZZ_{m_j}) $ e' un gruppo ciclico di cardinalita’ $ mcd(n_i,m_j) $,
si ha che

$ \#Hom(G,H)\ \ =\ \ \prod_{i=1}^t\prod_{j=1}^s mcd(n_i,m_j) $.

Okay, questa parte mi torna.

Infatti, nel tuo esempio, questa formula da $128$ omomorfismi.

Questa conferma è stata davvero rincuorante .

Potrei inoltre avere qualche riferimento per questo procedimento, non perché non mi fidi, anzi mi hai veramente chiarito le idee! Solo che avere un'altra fonte potrebbe farmi comodo.

Grazie ancora, spero in un'altra tua risposta.

[Stickelberger]

Si risolvono sostanzialmente con l'osservazione che fai dopo?

Si.

Oppure, terza opzione, intendi che sono isomorfi come gruppi.

Si, c'e' un'isomorfismo naturale.

avere un'altra fonte potrebbe farmi comodo.

Secondo me sono argomenti di base. Un qualsiasi libro buono di algebra?

[jinsang]

Un qualsiasi libro buono di algebra?

Io uso il Di Martino al quale affianco l'Herstein (in realtà il mio non è proprio un corso di algebra, sono al primo anno quindi è aritmetica+introduzione all'algebra). Conosci un testo che mi consigli perché lo ritieni particolarmente bello? Mi interesserebbe in particolare qualcosa con molti esercizi svolti. Comunque grazie per adesso.

[Stickelberger]

Il libro di Mike Artin e' buono secondo me.

[jinsang]

Ok grazie di tutto, molto gentile.

[jinsang]

Scusami se riapro la discussione ma mi sono accorto che una tua affermazione che mi sembrava limpida in realtà non mi è chiara per niente:

$Hom(Z_(n_i),Z_(m_j))$ e' un gruppo ciclico di cardinalita’ $mcd(n_i,m_j)$

Perché è un gruppo? Se ho capito con $Hom(Z_(n_i),Z_(m_j))$ si indica l'insieme
${f:Z_(n_i) \rarr Z_(m_j)|AA a,b in Z_(n_i) $ $ f(a+b)=f(a)+f(b)}$

Quindi per essere un gruppo ha bisogno di un'operazione, dato che gli elementi sono funzioni credo che l'operazione sia quella di composizione, ma se considero $f,g in Hom(Z_(n_i),Z_(m_j))$ allora $f@g$ in generale non ha significato dato che $f$ agirebbe su un dominio che non è il suo. Inoltre in generale un elemento di $Hom(Z_(n_i),Z_(m_j))$ non ha inverso a meno che si tratti di un isomorfismo.

Sto svarionando??

[Stickelberger]

L'operazione e' addizione:

$(f+g)(a)=f(a)+g(a)$ per ogni $a\in ZZ_n$.

Per poter comporre e' necessario, come dici tu, che dominio e codominio
sono uguali. Ma, visto che non ogni omomorfismo e' invertibile, composizione
non ci da un gruppo. Invece, $Hom(ZZ_n,ZZ_n)$ e' un anello con addizione
come sopra e moltiplicazione la composizione.