Proprietà distributiva del prodotto cartesiano

[Chiò]

Si procede così:
Si riscrive HxT come prodotto cartesiano fra l'intersezione di H e O e l'intersezione di O e T (vedi primo messaggio).
Poi devo passare alla forma che non riesco ad ottenere e da lì è tutta discesa perché praticamente è fatta.

[G.D.]

Probabilmente sono io... ma io queste notazioni non le capisco proprio.
Vediamo se interviene qualcun'altro.

[Chiò]

Ho sistemato ulteriormente il messaggio dove ho postato la traccia indicando tutte le parentesi magari risulta più chiaro da interpretare...

[Antimius]

Si dimostri che ${ H} \times { T} = { (H,H),(H,T)} ∩ { (H,T),(T,T)}$

Se questo è quello che devi dimostrare, hai semplicemente che $\{H\} \times \{T\} = \{(H,T)\} = \{(H.H),(H,T)\} \cap \{ (H,T),(T,T) \}$

[Chiò]

Non capisco allora perché vengano usati quei due passaggi che ho messo io nello svolgimento. Però se mi dici che questa risoluzione è equivalente non mi complico la vita ed adotto questa!

[garnak.olegovitc]

in questo caso semplice, tu hai

\(Set_1:=\{H\}\times\{T\}\) ovvero \(\{(H,T)\}\)

\(Set_2:=(\{H\}\times\{H,T\}) \cap (\{H,T\} \times \{T\}\) ovvero \(\{(H,H),(H,T)\}\cap\{(H,T),(T,T)\}=\{(H,T)\}\)

ergo \(Set_1=Set_2\) per le proprietá di uguaglinza tra insiemi ovvero \(\{H\}\times\{T\}=(\{H\}\times\{H,T\}) \cap (\{H,T\} \times \{T\})\)

Ora se vuoi dei passaggi un po piú "algebrici" bhé penso che si potrebbe anche ma ti complicheresti la vita inutilmente

[Antimius]

Forse voleva mostrare il procedimento con cui si arriva a quel risultato (senza già conoscerlo). In ogni caso, hai che $$(H \cap \{H,T\} ) \times (\{H,T\} \cap T) = H \times \{H,T\} \cap \{H,T\} \times T = \{(H,H),(H,T) \} \cap \{(H,T), (T,T) \}$$
dove la prima uguaglianza è dovuta al fatto che $(X \cap Y) \times (Z \cap W) = X \times Z \cap Y \times W$

[Chiò]

Forse voleva mostrare il procedimento con cui si arriva a quel risultato (senza già conoscerlo). In ogni caso, hai che $$(H \cap \{H,T\} ) \times (\{H,T\} \cap T) = H \times \{H,T\} \cap \{H,T\} \times T = \{(H,H),(H,T) \} \cap \{(H,T), (T,T) \}$$
dove la prima uguaglianza è dovuta al fatto che $(X \cap Y) \times (Z \cap W) = X \times Z \cap Y \times W$

Perfetto era proprio quello che cercavo io! La proprietà $(X \cap Y) \times (Z \cap W) = X \times Z \cap Y \times W$ è la proprietà distributiva del prodotto cartesiano rispetto l'intersezione?

[vict85]

La tua notazione non è molto comprensibile.

Se ho capito bene vuoi dimostrare che \(\displaystyle (A\cap C)\times(C\cap B) = (A\times C)\cap (C\times B) \). Corretto? Se vuoi porre una domanda puramente insiemistica non aggiungere informazioni e notazioni che non c'entrano nulla.

In ogni caso non è altro che la definizione di intersezione sul prodotto cartesiano. Detto questo, la dimostrazione non è complicata. Infatti valgono le seguenti inclusioni \(\displaystyle (A\cap C)\times(C\cap B) \subset (A\times C) \) e \(\displaystyle (A\cap C)\times(C\cap B) \subset (C\times B) \), ovvero si ha che \(\displaystyle (A\cap C)\times(C\cap B) \subseteq (A\times C)\cap (C\times B) \). La inclusione inversa la si dimostra osservando che se \(\displaystyle (x,y)\in (A\times C)\cap (C\times B) \) allora \(\displaystyle (x,y)\in (A\times C) \) e \(\displaystyle (x,y)\in (C\times B) \) ovvero che \(\displaystyle x \) è sia in \(\displaystyle A \) che in \(\displaystyle C \) e che \(\displaystyle y \) è sia in \(\displaystyle C \) che in \(\displaystyle B \).

[Chiò]

La notazione è delle mie dispense di probabilità. Comunque tutto quello che mi premeva sapere era se esistesse qualche proprietà che mi consentiva di giustificare quel passaggio, e a quanto ho letto dalle vostre risposte esiste ed è quella da voi riportata. Ora vorrei solo capire se si tratta banalmente della proprietà distributiva del prodotto cartesiano rispetto all'intersezione o se ha un altro nome. Ti ringrazio per la dimostrazione, arricchirà la mia risposta, ma non l'ho capita molto