Esercizio integrale definito

[Stanzi96]

Questo è l'esercizio

$ int_(-pi/3)^(pi/2) (tan^4x + 2tan^2x +1)/(4tan^2x +1)dx $

Allora Wolfram mi si suggerisce di scrivere: $ tan^4x + 2tan^2x +1 = (1+tan^x)sec^2x $
Se qualcuno mi spiega da dove arriva quella sostituzione mi fa un enorme piacere, ci ho sbattuto la testa un'ora, arrivando anche a forme ancora più semplificate ma non a quella.
Una volta fatto ciò attraverso due sostituzione sono arrivata ad avere il risultato che mi da anche Wolfram:

$ 1/8 (2tanx+3tan^-1(2tanx)) $

e ok. Solo che se poi sostituisco ovviamente la tangente di $pi/2$ non mi restituisce un valore finito, lì infatti sappiamo esserci un asintoto verticale.

A questo punto che faccio?

[Stanzi96]

Wolfram mi suggerisce di scrivere: $ tan^4x + 2tan^2x +1 = (1+tan^2x)sec^2x $.

Molto semplicemente, si ha \[ \tan^4 x + 2\,\tan^2 x + 1 = \left(\tan^2 x + 1\right)^2 = \left(\tan^2 x + 1\right)\left(\tan^2 x + 1\right) = \left(\tan^2 x + 1\right)\frac{1}{\cos^2 x}\,. \]

Ah! ma era semplice, mi era sfuggita l'indentità tra il coseno e la tangente!

\[ I = \int_{-\sqrt{3}}^{+\infty} \frac{1+t^2}{4\,t^2+1}\,\text{d}t = \lim_{b \to +\infty} \int_{-\sqrt{3}}^b \frac{t^2 + 1}{4\,t^2 + 1}\,\text{d}t \,. \] A te procedere.

Ok capito. Quindi devo sempre passare al limite dell'integrale improprio in questi casi?
Ho calcolato, il limite, ammesso e concesso che io non abbia sbagliato è $xrarr+infty$.

Quindi l'integrale improprio diverge. Ma potevo rendermene conto già arrestandomi al fatto che per $ xrarrpi/2 $ la tangente va a infinito. No?

P.S.: una volta calcolato l'integrale, pensa un po' se avresti potuto dedurre il risultato a priori.

Quanto a priori? appena visto l'integrale? Non saprei in realtà

[Stanzi96]

Tutto chiaro adesso! Grazie @TeM. Mi dispiace chiedere tanto aiuto