Parte principale di logaritmi e radici per $x->infty$ [RISOLTO]

[yonko]

Ho un dubbio riguardo la parte principale,
in particolare ho notato che per le radici e per i logaritmi vale la seguente relazione:
$log(f(x)+g(x))= log(f(x)), x->infty, g(x)=o(f(x)) $
$sqrt(f(x)+g(x))= sqrt(f(x)), x->infty, g(x)=o(f(x)) $
mentre ciò non vale per le potenze o per gli esponenziali,
mi domandavo se ciò vale sempre, oppure devono essere rispettate particolari condizioni.
In sostanza, mi chiedevo se in un compito di esame ciò venisse accettato perché matematicamente corretto.

[cooper]

quello che dici è in generale falso. non vale sempre ma in base alla forma della $f$ e della $g$. quello che hai scritto vale per esempio se $f(x)=x^3$ e $g(x)=x$. allora si ma già solo se sono scambiate non vale. devi sostanzialmente usare la gerarchia degli infiniti.

[yonko]

quello che dici è in generale falso. non vale sempre ma in base alla forma della $f$ e della $g$. quello che hai scritto vale per esempio se $f(x)=x^3$ e $g(x)=x$. allora si ma già solo se sono scambiate non vale. devi sostanzialmente usare la gerarchia degli infiniti.

se le scambi allora non è rispettata la condizione $f(x)=o(g(x))$.
Puoi dirmi una funzione che non rispetta quello che ho scritto prima?
Ho tentato con diverse funzioni e non ne ho ancora trovato alcuna. Addirittura funziona con funzioni composte con logaritmi e radici.

[cooper]

in effetti a ben riguardare credo di aver male interpretato la tua scrittura. dal mio intervento di prima considera solo l'ultima parte e non la prima.
però non capisco perchè la cosa non dovrebbe funzionare con le potenze: guarda il mio esempio e il tuo della radice (che è una potenza).
comunque non focalizzarti troppo sul "funziona sempre?". la parte principale è quella cosa che prevale sugli altri termini, indipendentemente dalla forma che ha la tua funzione.

[yonko]

in effetti a ben riguardare credo di aver male interpretato la tua scrittura. dal mio intervento di prima considera solo l'ultima parte e non la prima.
però non capisco perchè la cosa non dovrebbe funzionare con le potenze: guarda il mio esempio e il tuo della radice (che è una potenza).
comunque non focalizzarti troppo sul "funziona sempre?". la parte principale è quella cosa che prevale sugli altri termini, indipendentemente dalla forma che ha la tua funzione.

Il mio non vuole essere un "va beh non ho la più pallida idea di cosa sia la parte principale e allora faccio così", ma un modo più veloce per ricavarla.
Hai ragione funziona anche nelle potenze. Ma non funziona con gli esponenziali.
se $f(x) ∼ (e^x)$ e $g(x) = e^(x+1)$ $lim_(x->infty) f(x)/g(x) ne 1$
D'altronde le potenze di esponenziali con la stessa base sotto frazione si sottraggono.

EDIT: Ragionando maggiormente su quanto detto ho potuto osservare che ciò funziona perfettamente con funzioni elementari. Quando iniziano a esserci sottrazione di radici non si sa più cosa possa succedere. Rimane comunque indispensabile fare la gara di infiniti, pertanto questo thread è risolto.