ho provato a svolgere quest'esercizio ma non riesco a concluderlo, vi posto la mia soluzione (fin dove sono arrivato).
Sia G un gruppo tale che $ |G|=175=5^{2}7$ e siano $n_{5}=|Syl_{5}(G)|$ e $n_{7}=|Syl_{7}(G)|$.
Per i teoremi di Sylow so che $n_{5} | 7$ e $n_{5} \equiv_{5} 1$, dunque $n_{5}=1$.
Allo stesso modo so che $n_7 | 5$ e $n_{7} \equiv_{7} 1$, dunque $n_{7}=1$.
Dunque $\exists! P \in Syl_{7}(G)$ e $\exists! Q \in Syl_{5}(G)$, so che $|P| = 7$ e $|Q| = 25$, quindi visto che le cardinalità sono coprime so grazie al teorema di Lagrange che $P \cap Q = {1_{G}}$.
Inoltre essendo $P$ e $Q$ gli unici p-Sylow so che sono anche normali, dunque $PQ \leq G$ ma siccome $|PQ| = \frac{|P||Q|}{|P\ cap Q|} = 175 = |G|$ posso affermare che $P \times Q = G$.
Inoltre $|P| = 7$ che è primo, dunque $P$ è ciclico e quindi abeliano, invece $|Q| = 5^{2}=p^{2}$ e siccome anche 5 è primo posso affermare che anche Q è abeliano (i gruppi con ordine quadrati di primi sono sempre abeliani).
A questo punto ho che $G$ è prodotto diretto di gruppi abeliani, dunque anche G è abeliano.
E' qua che mi incasino un po', so che siccome $|G|=7^{1}*5^{2}$ ho che ci sono $2=p(1)p(2)$1 gruppi abeliani di ordine 175 a meno di isomorfismi. Uno è per forza $\mathbb{Z}_{175}$, ma l'altro? So che mi basta trovare un altro gruppo abeliano(non ciclico) di ordine 175 che non sia isomorfo a $\mathbb{Z}_{175}$.
In realtà questo è un caso abbastanza fortunato, in generale non mi è chiarissimo come si usi la decomposizione primaria ciclica (ammesso che serva quella).
Grazie mille a tutti
- con p(n) intendo la parte intera di n ↑