Derivabilità di una funzione definita a tratti

[davidcape]

Ho la funzione definita a tratti $ f(x,y):={(xy)/(x^2+y^2)if (x,y )!= (0,0) $ e $ f(x,y):={0if (x,y )= (0,0) $ . Sarebbero nello stesso sistema le due condizioni ma non mi riesce scriverlo correttamente in Latex... In pratica in 0,0 vale 0 .
Mi viene chiesto;
1)non è derivabile in (0,0) rispetto a X (credo sia vero perchè è costante in (0,0) giusto?)
2)non è differenziabile in (0,0) . Differenziabile vuol dire che esistono tutte le derivate parziali giusto? Non so rispondere....

[Ziben]

Ciao,
1) secondo me è derivabile rispetto a $x$ in $(0,0)$; infatti:

$(\partialf)/(\partialx)(0,0)=\lim_(x\rightarrow0)(f(x,0)-f(0,0))/x=0$

2) non è sufficiente che esistano le derivate parziali in un punto perché la funzione sia differenziabile, devono anche essere continue; comunque, differenziabilità implica la continuità e la funzione non è continua in $(0,0)$; infatti, nei punti per cui $x=y$ la funzione diventa:

$f(x,x)=x^2/(2x^2)=1/2$

per cui la funzione non è differenziabile in $(0,0)$

[davidcape]

Prima di tutto grazie mille per la risposta.
Una funzione $ f(x,y) $ si dice continua in un punto $ P=(x_0,y_0) $ se esiste ed è finito $ lim_((x,y) ->(x_0,y_0) $ $ f(x,y)=l $ giusto? Devo verificarlo così o ci sono metodi più "rapidi"?

[Ziben]

Prima di tutto grazie mille per la risposta.

Prego

Una funzione $ f(x,y) $ si dice continua in un punto $ P=(x_0,y_0) $ se esiste ed è finito $ lim_((x,y) ->(x_0,y_0) $ $ f(x,y)=l $ giusto? Devo verificarlo così o ci sono metodi più "rapidi"?

La definizione di continuità sarebbe un altra ma si riconduce a quello che hai detto, anche perché è la via usata per verificarla nei punti di accumulazione del dominio. Fai attenzione però che:
Una funzione $ f(x,y) $ si dice continua in un punto $ P=(x_0,y_0) $ se esiste ed è finito $ lim_((x,y) ->(x_0,y_0))f(x,y)$ ed è $=f(x_0,y_0)$