$\mathbb{Q}$ è uno $\mathbb{Z}$-modulo iniettivo ma non proiettivo

[Davi90]

Ciao a tutti.
Partendo esclusivamente dalla definizione dovrei mostrare che $\mathbb{Q}$ è uno $\mathbb{Z}$-modulo iniettivo ma non proiettivo. Qualcuno potrebbe aiutarmi?

Def (modulo proiettivo) Un $A$-modulo P si dice proiettivo se, per ogni omomorfismo surgettivo di A-moduli \( f\colon M\twoheadrightarrow N \) e ogni mappa \( g\colon P\longrightarrow N \) , esiste una mappa \( h\colon P\longrightarrow M \) tale che \( g=f\circ h \).

Def (modulo iniettivo) Un $A$-modulo E si dice iniettivo se, per ogni omomorfismo iniettivo di A-moduli \( f\colon N \hookrightarrow M \) e ogni mappa \( g\colon N\longrightarrow E \) , esiste una mappa \( h\colon M\longrightarrow E \) tale che \( g=h\circ f \).

[killing_buddha]

Vi sono diverse caratterizzazioni equivalenti di iniettività e proiettività, la cosa più adeguata è dimostrarle e utilizzarle. C'è un motivo particolare per cui sei interessato a vederlo usando la sola definizione (per esempio il fatto che questa domanda è un esercizio, e te lo chiede espressamente)?

I due esercizi comunque sono risolti qui http://math.stackexchange.com/questions ... hat-b?rq=1 e http://math.stackexchange.com/questions ... bbz-module

[Davi90]

Ti ringrazio. Proverò a capirci qualcosa.
Ero interessato a provarlo con la definizione perché l'esercizio è esattamente subito dopo, mentre le caratterizzazioni sono trattate un po' più avanti. Siccome è in quella posizione ho pensato che si potesse fare abbastanza facilmente con la definizione ma non mi sta venendo in mente nulla
Per provare che non è proiettivo cercavo di farlo per assurdo considerando degli omomorfismi e dei moduli "semplici" ma con quelli semplici che mi sono venuti in mente per ora non funziona

[killing_buddha]

Con le caratterizzazioni equivalenti nella borsa degli attrezzi è relativamente facile mostrare che Q è iniettivo; per mostrare che non è proiettivo bisogna trovare un epimorfismo che non viene preservato da \(\hom(\mathbb Q,-)\), e in effetti andare a tentativi senza sapere cosa stai cercando di costruire non è immediato.

[Stickelberger]

Per nessun omomorfismo suriettivo $f$ da un gruppo libero $F$ a $QQ$
esiste un omomorfismo $h:QQ\rightarrow F$ con $fh$ uguale all'identita' su $QQ$.
Perche' $h$ sarebbe iniettivo e $F$ conterrebbe quindi un sottogruppo
isomorfo a $QQ$. Questo e' impossibile, perche' gruppi liberi
non contengono elementi infinitamente divisibili.

E quindi $QQ$ non e' proiettivo.

[killing_buddha]

Giusto, non ci avevo pensato. Questo ragionamento poi non ha niente a che fare con $Q$, si generalizza abbastanza