in un esercizio è richiesto di completare i dati mancanti riguardanti la somma di due onde cosinusoidali.
Per la prima onda sappiamo che ha ampiezza $A$, numero d'onda $k$, frequenza $f$ e non conosciamo la fase iniziale.
Per la seconda onda sappiamo che ampiezza $A$ e fase iniziale 0
Per l'onda risultante sappiamo che ha ampiezza $A$, numero d'onda $k$, frequenza $f$ e non conosciamo la fase iniziale.
Quindi devo trovare la fase iniziale dell'onda 1 e dell'onda risultante e numero d'onda e frequenza della seconda onda.
Allora si ha:
$$y_1=A cos(kx-2\pi ft+\phi_1)$$
$$y_2= A cos(k_2x-2\pi f_2t)$$
$$y_1+y_2 = A cos(kx-2\pi f t + \phi_r)$$
Chiamo $a$ la fase della prima onda e $b$ la fase della seconda onda, cioè $a = kx-2\pi ft+\phi_1 $ e $b = k_2x-2\pi f_2t$
Applicando le formule di prostaferesi abbiamo che
$$y_1+y_2 = 2A cos(\frac{a+b}{2})cos(\frac{a-b}{2})$$ da cui impongo che l'ampiezza dell'onda risultante deve essere uguale ad $A$, cioè $$2A cos(\frac{a-b}{2}) = A$$ da cui trovo che $a-b = \frac{2}{3} \pi$
Non sono sicura di poter fare l'uguaglianza di cui sopra perchè rimane la dipendenza dalle due variabili $x$ e $t$. Nei risultati deve essere $\phi_1 = \frac{2}{3} \pi$ , quindi devo imporre io che per poter ottenere da $a-b=\frac{2}{3} \pi$ il risultato deve essere $k_2=k $ e $f_2 = f$?
C'è un modo diverso per svolgere l'esercizio?
Se il mio ragionamento è esatto, poi riesco a trovare tranquillamente la fase iniziale dell'onda risultante. Ma se non avessi avuto i risultati, chi mi assicurava di poter imporre che $k_2=k $ e $f_2 = f$?
Grazie
