Sia \(f:[0,A]\to \mathbb{R}\) una funzione continua e strettamente crescente con \(f(0)=0\).
1. Per ogni \(a\in ]0,A]\) e per ogni \(b\in ]0,f(A)]\) si ha:
\[
\tag{Y}
\int_0^a f(x)\ \text{d} x +\int_0^b f^{-1}(y)\ \text{d} y \geq a\ b\; ,
\]
l'uguaglianza valendo solo se \(b=f(a)\).
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Suggerimento: Basta fare un disegno...
2. Per ogni \(a\in ]0,A]\) ed ogni \(b\in ]0,f(A)]\) si ha:
\[
\tag{RY}
\min \left\{ 1, \frac{b}{f(a)}\right\}\ \int_0^a f(x)\ \text{d} x + \min \left\{ 1, \frac{a}{f^{-1}(b)}\right\}\ \int_0^b f^{-1}(y)\ \text{d} y \leq a\ b\; ,
\]
l'uguaglianza valendo solo se \(b=f(a)\).
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Suggerimento: Sfruttare le proprietà geometriche delle funzioni \(F(x) := \int_0^x f(t)\ \text{d} t\) o \(\Phi (y) := \int_0^y f^{-1}(s)\ \text{d} s\) (a seconda che \(f(a)\leq b\leq f(A)\) o \(0<b\leq f(a)\)) e la condizione di uguaglianza in (Y).