Omotetie e punti fissi

[HowardRoark]

Nel mio libro c'è scritto che, in un' omotetia di equazioni:

$\{(x'=kx+p),(y'=ky+q) :}$,
se $ k !=1$, ogni omotetia ha un'unico punto fisso, cioè il centro dell'omotetia: ma il centro dell'omotetia non dovrebbe traslare secondo il vettore $(p,q)$? E allora neanche il centro dell'omotetia dovrebbe essere un punto fisso, cioè questa trasformazione non dovrebbe avere alcun punto fisso.

Edit: forse il mio errore consiste in questo: il mio libro parte dal presupposto che l'omotetia abbia un unico punto fisso (il centro) e di conseguenza ricava le sue coordinate sostituendo ad $x'$ $x$ e ad $y'$ $y$. Ho fatto anche un esempio applicando un'omotetia ad un punto ed in effetti il centro risulta un punto fisso proprio per costruzione.

[sellacollesella]

Assegnata la trasformazione: \[
\begin{cases}
x' = kx + p \\
y' = ky + q \\
\end{cases}
\] eventuali punti uniti dovranno soddisfare: \[
\begin{cases}
x' = x \\
y' = y \\
\end{cases}
\quad \Rightarrow \quad
\begin{cases}
kx + p = x \\
ky + q = y \\
\end{cases}
\quad \Rightarrow \quad
\begin{cases}
x = \frac{p}{1-k} \\
y = \frac{q}{1-k} \\
\end{cases}.
\] Pertanto, a patto che sia \(k \ne 1\), il punto: \[
\left(\frac{p}{1-k},\frac{q}{1-k}\right)
\] è l'unico punto unito di tale trasformazione e in quanto tale è centro della trasformazione.

[HowardRoark]

Assegnata la trasformazione: \[
\begin{cases}
x' = kx + p \\
y' = ky + q \\
\end{cases}
\] eventuali punti uniti dovranno soddisfare: \[
\begin{cases}
x' = x \\
y' = y \\
\end{cases}
\quad \Rightarrow \quad
\begin{cases}
kx + p = x \\
ky + q = y \\
\end{cases}
\quad \Rightarrow \quad
\begin{cases}
x = \frac{p}{1-k} \\
y = \frac{q}{1-k} \\
\end{cases}.
\] Pertanto, a patto che sia \(k \ne 1\), il punto: \[
\left(\frac{p}{1-k},\frac{q}{1-k}\right)
\] è l'unico punto unito di tale trasformazione e in quanto tale è centro della trasformazione.

Esattamente quello che sostiene il mio libro, grazie mille.