Segno di una funzione con valore assoluto e log

[luke1996]

salve sono alle prese con questa funzione:
y= $(log[1/2] |x-3|)/(log[3](x-1))$
tra parentesi quadra la base del log

il numeratore diventa $(-log[2]|x-3|)$ >0 e poi?
mi date una mano a risolvere?
R. $y > 0$ per $1 < x < 4$
$ x\ne 2$ $x \ne3$
ho provato in tutti i modi ma non mi torna il risultato! grazie

[CaMpIoN]

Poni numeratore e denominatore maggiore o uguale a zero con il denominatore solo maggiore, per il numeratore hai:
\(\displaystyle \log_{\frac{1}{2}} |x-3|\geq 0\)
La funzione logaritmo per basi minori di $1$ è decrescente, i segni si invertono
\(\displaystyle |x-3|\leq 1 \quad \to \quad 3-1\leq x\leq 3+1 \quad \to \quad 2\leq x\leq 4 \)
Per il denominatore si ha:
\(\displaystyle \log_3 (x-1)>0 \)
La funzione logaritmo per basi maggiori di $1$ è crescente:
\(\displaystyle x-1>1 \quad \to \quad x>2 \)
Devi fare il prodotto dei segni del sistema di disequazioni seguenti
\(\displaystyle \left\{
\begin{array}{lc}
2\leq x\leq 4\\
x>2
\end{array}
\right.
\)
Si ottiene
\(\displaystyle x\leq 4 \quad \land \quad x\neq 2 \)

Adesso bisogna considerare le condizioni di esistenza, il logaritmo non può avere argomento negativo o pari a zero, a numeratore l'argomento può solo essere positivo o uguale a zero, nel caso sia uguale a zero si ha:
\(\displaystyle x-3=0 \quad \to \quad x=3 \)
Quindi $x\ne 3$ è una condizione di esistenza. Per il denominatore l'argomento può essere negativo uguale a zero o positivo, prendiamolo solo positivo, quindi
\(\displaystyle x-1>0 \quad \to \quad x>1 \)
A questo punto dobbiamo prendere l'intersezione del sistema
\(\displaystyle \left\{
\begin{array}{lc}
x\leq 4 \quad \land \quad x\neq 2\\
x\neq 3\\
x>1
\end{array}
\right.
\)
La soluzione è:
\(\displaystyle y\geq 0 \Longleftrightarrow 1<x\leq 4 \quad \land \quad x\neq 2 \quad \land \quad x\neq 3 \)

[luke1996]

grazie , non confrontavo con il dominio e non mi tornava il risultato.
posso chiederti di un altro esercizio invece non riesco a capire come trovare il dominio mentre è ok il segno:
y=$sqrt(2^2x+2*2^x-8)$ - $sqrt(2^(x+1) + 8)$
pongo l'argomento delle radici ≥ 0 ma non mi torna il risultato che deve venire x>1 mentre a me viene x>2/3.
grazie

[CaMpIoN]

Mostrami i passaggi che effettui, ti dico dove sbagli. Il dominio di questa funzione infatti si trova come lo hai fatto tu, quindi ce un errore nei passaggi.

[luke1996]

intanto la prima la riscrivo come $sqrt(2^(2x)+2^(x+1)-2^3))$ pongo argomento >0 e applico il log

2x log2+ (x+1)log2 -3log2>0
2x+x+1-3>0
3x>3-1
3x>2
x>2/3

[CaMpIoN]

Ecco gli errori che hai commesso, tu hai la seguente disequazione da risolvere:
\(\displaystyle 2^{2x}+2^{x+1}-2^3\geq 0 \)
Puoi applicare il logaritmo naturale (o di qualsiasi altra base maggiore di uno) secondo la regola di monotònia crescente che ci dice che:
\(\displaystyle x_1>x_2 \quad \to \quad \log_a x_1\geq \log_a x_2, \; a>1 \)
Utilizzando il logaritmo naturale (base maggiore di uno) allora avresti
\(\displaystyle \ln (2^{2x}+2^{x+1}-2^3)\geq \ln 0 \)
Non puoi farlo perché a secondo membro hai un logaritmo con argomento pari a zero il quale non è definito.
Inoltre l'errore più grave che hai commesso è che tu hai applicato la seguente operazione:
\(\displaystyle \log (a+b)=\log a+\log b \)
che è falsa. Non è un'uguaglianza verificata, mentre lo è la seguente:
\(\displaystyle \log ab=\log a+\log b \)
Non ti serve comunque ora.
Devi risolvere quella disequazione per via algebrica secondo questi passaggi:
\(\displaystyle (2^x)^2+2^x \cdot 2-2^3\geq 0 \)
Poni $z=2^x$, quindi hai la disequazione
\(\displaystyle z^2+2z-8\geq 0 \)
Risolvendola ottieni:
\(\displaystyle z\leq -4 \quad \lor \quad z\geq 2 \)
Sostituisci $z$, hai
\(\displaystyle 2^x\leq -4 \quad \lor \quad 2^x\geq 2 \)
Poi procedi risolvendo le due semplici disequazioni ottenute.

[luke1996]

ok, se faccio la stessa cosa con la seconda radice, ottengo x>2 ma non mi trovo ancora con il risultato che deve essere x>1...

[CaMpIoN]

Allora alla disequazione ottenuta dobbiamo aggiungere il fatto che:
\(\displaystyle \forall x \in \mathbb{R} \; 2^x>0 \)
Quindi la disequazione diventa:
\(\displaystyle 2^x\geq 2\)
Si ottiene
\(\displaystyle x\geq 1 \)
La seconda radice ha radicando sempre positivo (lo si può dimostrare facilmente), quindi non occorre nessuna condizione.
Il dominio è quindi $x\geq 1$, credo ci sia un'errore nella soluzione dell'esercizio che hai perché se provi l'$1$ si può applicare alla funzione, infatti:
\(\displaystyle y=\sqrt{4 \cdot 1+2 \cdot 2^1-8} \cdot \sqrt{2^{1+1}+8}=\sqrt{4+2 \cdot 2-8} \cdot \sqrt{2^2+8}=\sqrt{4+4-8} \cdot \sqrt{4+8}=\sqrt{0} \cdot \sqrt{12}=0 \)
Come vedi non ce un'indeterminazione.

[luke1996]

grazie per la pazienza....chiaro adesso.