Cariche su una sfera

[mgrau]

Stavo pensando a come si dispongono delle cariche elettriche tutte uguali su una sfera.
Se sono 2, stanno agli estremi di un diametro. Se 3, formano un triangolo equilatero su un piano equatoriale.
Se 4, un tetraedro. 6, un ottaedro, 8 un cubo, 12 un icosaedro, 20 un dodecaedro.
Almeno credo.
Ma se sono 5? Viene in mente che 2 siano ai poli e 3 sull'equatore.
Non è tanto bello, perchè le distanze non sono uguali, le cariche ai poli sono più vicine a quelle all'equatore ($sqrt2$) che quelle all'equatore fra di loro ($sqrt(3)$)
Pensandoci un po', si vede che, perchè ci sia equilibrio, le forze su ogni carica devono avere direzione radiale, se no si muovono. Quindi la condizione di forze radiali è necessaria. Però è anche sufficiente: se le forze sono radiali, le cariche non hanno motivo di muoversi. Quindi, forze radiali $<=>$ equilibrio.
Allora, la disposizione a 5 trovata va bene, la simmetria grarantisce la direzione radiale delle forze.
Però. L'equilibrio è stabile?
Non è detto, e in generale no. Infatti, se pensiamo a 1000000 cariche, di cui 2 ai poli e 999998 all'equatore, l'equilibrio è certamente instabile, infatti mi aspetto che la disposizione reale sia molto più uniforme di così. Se poi c'è un equilibrio instabile, siccome almeno una soluzione stabile ci deve essere, vuol dire che la soluzione non è unica.
Quindi, la disposizione a 5, è stabile o no? E le disposizioni a poliedro regolare, che intuitivamente sono sia stabili che uniche, lo sono davvero? E come si può fare per stabilirlo?
E con un numero qualunque, per es. 7, come si può trovare la (o una) soluzione stabile?
Mi sembra un problema difficile da prendere.

[ingres]

Ciao mgrau

credo che il problema sia quello noto come problema di Thomson

https://en.wikipedia.org/wiki/Thomson_problem

Come puoi leggere il problema è effettivamente complesso e risolto in modo esatto solo per alcuni casi. Per il resto le soluzioni sono solo numeriche.

[mgrau]

Interessante. Trovo strano che per 8 e 20 le soluzioni NON siano il cubo e il dodecaedro (e allora, quali sono?).
Mi pare poi che non si accenni a soluzioni sperimentali o ottenute con simulazioni, che pure non dovrebbero essere troppo difficili.

[ingres]

Nella Tabella finale per N = 8 dice che la soluzione è un antiprisma quadrato

https://en.wikipedia.org/wiki/Square_antiprism

Per N = 20 non fornisce nessuna figura di riferimento, per cui mi sa che la soluzione (numerica) non è rapportabile ad una figura già definita.

Per quello che riguarda il problema dal punto di vista numerico cita tutti algoritmi di ottimizzazione, il che è comprensibile, visto che il problema si riconduce a minimizzare l'energia elettrostatica totale.

[mgrau]

Se ho capito bene, è un cubo, una torsione di 45°? In effetti, è ragionevole