Ho iniziato a svolgere un po' di integrali con il metodo dei residui. Se quelli "normali" non mi danno troppi problemi, quando mi trovo di fronte a quelli con uno o più parametri vado leggermente in crisi. Vorrei iniziare postando un esercizio che ho svolto (credo sia corretto), per vedere se questo è il modo giusto di procedere o se invece mi perdo e la tiro più lunga del necessario.
$\int_{0}^{2\pi} (d\theta)/(1-2acos\theta+a^2)$
con la sostituzione $z=e^(i\theta)$ e detta $\Gamma$ la regione delimitata dall circonferenza di raggio unitario centrata nell'origine del piano complesso, si ha:
$\int_{\Gamma} 1/(1-a(z+1/z)+a^2)(-i/z)dz=i/a\int_{\Gamma} *1/((z-a)(z-1/a))dz$
con $z_0=a$ e $z_0=1/a$ poli del 1° ordine. Detta $f(z)$ la funzione dell'ultimo integrale:
$Res(f(z),a)=\lim_{z \to a}f(z)(z-a)=a/(a^2-1)$
$Res(f(z),1/a)=\lim_{z \to 1/a}f(z)(z-1/a)=a/(1-a^2)$
$\int_{0}^{2\pi} (d\theta)/(1-2acos\theta+a^2)={((2pi)/(a^2-1),per #|a|>1 #text{uso solo il residuo di 1/a}),((2pi)/(1-a^2),per #|a|<1 #text{uso solo il residuo di a}),(text{non calcolabile},per #|a|=1):}$
Il prossimo è invece un integrale, apparentemente innocuo, che mi ha messo in difficoltà:
$\int_{0}^{2\pi} (sen\theta)^(2n) d\theta$
$(sen\theta)^(2n)=((e^(i\theta)-e^(-i\theta))/(2i))^(2n)=(e^(i\theta)-e^(-i\theta))^(2n)/((-1)^n4^n)$
e qui, anche passando alla sostituzione $z=e^(i\theta)$, non so come andare avanti. Qualche consiglio?