Salve, ho un dubbio sulle equazioni lineari di Eulero: non riesco a capire quale criterio devo seguire per scrivere un integrale particolare $v(x)$ della mia equazione. spero di spiegarmi meglio con un esercizio che riesco a risolvere a metà.
$x^2 y'' - xy' -3y = x^2 logx$
procedo così:
pongo $x=e^t$ e $t=logx$ e mi ricavo questa associata:
$a^2 -2a -3 =0$ che mi dà due soluzioni reali distinte
$a1= 3$ e $a2= -1$
dunque l'integrale particolare è : $y(x)= c1x^3 + (c2)/x + v(x)$
ora, per calcolare $v(x)$ devo porre $v(t)=$ qualcosa che ha a che fare con$ f(e^t)$, dove $f(e^t)=te^(2t)$
ma in che modo? c'è una legge per scrivere $v(t)$?
ad esempio in altri esercizi ho trovato questi casi:
$x^2 y'' + 2x y' -y= x(logx +2)= f(x)$ --> $f(e^t)=(t+2)e^t$--> $v(t)=(bt+c)e^t$
$x^2 y'' +2x y' -2y=x^2=f(x)$---> $f(e^t)=e^(2t)$ --> $v(t)=be^(2t)$
dove $b$ e $c$ sono incognite (che ho capito come calcolare).
ma da questi esercizi precedenti non riesco a trovare lo spunto per scrivere correttamente $v(t)$ (sia nell'esercizio che ho scritto all'inizio, sia in altri casi in generale).
sul seguito dell'esercizio non ho problemi.
grazie in anticipo