Domanda teorica sottospazi

[marcoopsone]

Buongiorno a tutti...

Ho un problema a rispondere a questa domanda:

Sia \(\displaystyle V \) uno spazio vettoriale di dimensioni 6 su un campo \(\displaystyle \mathbb{K} \). Stabilire se el seguenti affermazioni sono vere:

1. Esistono due sottospazi \(\displaystyle U \) e \(\displaystyle W \) di \(\displaystyle V \), che siano supplementari e tali che la \(\displaystyle \dim(W) = 2\dim(U) \). In caso affermativo scrivere le equazioni.

Ho capito quando due sottospazi sono supplementari e quindi so che essendo tali la \(\displaystyle \dim(W) + \dim(U) = n \), dove n è 6 in questo caso! fin qui è giusto?

Sto iniziando così ma non so se è esatto...

[Trilogy]

Non ho sentito il termine "supplementari", ma comunque se si intende che $V$ è somma diretta di $U$ e $W$, cosa che normalmente ho visto scritta come $V=U\oplus W$, significa che $V=U+W$ e che $U\cap W=\{0_V\}$.

Visto che $\dim V=6$, puoi scrivere $V$ come spazio generato da sei elementi di una base, $$V=\langle v_1,v_2,\ldots,v_6\rangle.$$ Quindi scegli $$U:=\langle v_1,v_2\rangle,\qquad W:=\langle v_3,v_4,v_5,v_6\rangle,$$ e hai quello che ti serve.

[marcoopsone]

Si Trilogy supplementari significa proprio quello che hai detto! Sul mio testo li chiama così! Comunque ho capito il tuo ragionamento ma quando mi chiede le equazioni sono proprio le ultime due che hai scritto?

[Glimpsyd]

Sappiamo che \(\displaystyle U \) e \(\displaystyle W \) sono sottospazi di \(\displaystyle V \) e che \(\displaystyle V=U \oplus W \). Questo vuol dire, per definizione di somma diretta, che \(\displaystyle \dim V=\dim U + \dim W \). Dato che sappiamo essere \(\displaystyle \dim V=6 \), dobbiamo risolvere il sistema

\(\displaystyle \begin{equation}\begin{cases}\dim V= \dim W + \dim U \\ \dim W = 2\dim U\end{cases}\end{equation}\)

il che porta alle soluzioni

\(\displaystyle \begin{equation}\begin{cases}\dim U= 2 \\ \dim W = 4\end{cases}\end{equation}\)

Se quindi poniamo \(\displaystyle V= Span (v_1,v_2,...,v_6) \), \(\displaystyle U \) può essere lo Span di due vettori qualsiasi di questa base di \(\displaystyle V \) e \(\displaystyle W \) lo Span dei restanti 4.

Per quanto riguarda le equazioni, non si capisce bene cosa intendi. Comunque si possono determinare due equazioni generiche che descrivono i sottospazi \(\displaystyle U \) e \(\displaystyle W \). In particolare, se prendiamo \(\displaystyle U=Span(v_1,v_2) \) e \(\displaystyle W=Span(v_3,v_4,v_5,v_6) \), allora si ha che \(\displaystyle U=\alpha v_1+\beta v_2 \) (con \(\displaystyle \alpha, \beta \in \mathbb{K}\)) e \(\displaystyle W=\alpha v_3+\beta v_4+\gamma v_5+\delta v_6 \) (con \(\displaystyle \alpha, \beta, \gamma, \delta \in \mathbb{K}\)).

[marcoopsone]

Glimpsyd avevo fatto il tuo stesso ragionamento! Per le equazioni stesso io ti dico che non ho capito bene cosa intende! Comunque ho capito che avevo approcciato bene l'esercizio!
Ancora grazie

[vict85]

Per le equazioni immagino intenda un sistema lineare il cui insieme delle soluzioni sia il sottospazio.