Per pura curiosità mi chiedevo se fosse possibile, magari senza sfasciarsi la schiena di contazzi, dimostrare che un iperpiano di $RR^n$ ha misura di Lebesgue nulla evitando di utilizzare l'invarianza della misura per rotazioni e tralsazioni1. Idee?
- ...ché altrimenti è facile: l'iperpiano $pi:\ x_n=0$ lo posso scrivere come "limite" di una successione crescente di "parallelepipedi" di altezza zero, cioè
\[\pi=\bigcup_{k=1}^\infty Q_k\qquad Q_k:=[-k,k]^{n-1}\times \{0\}\qquad Q_k\subseteq Q_{k+1}\qquad m(Q_k)\equiv 0\]
dunque
\[m(\pi)=\lim_{k\to\infty }m(Q_k)=0\]
Il caso generale seguirebbe da questo, dato che ogni altro iperpiano si ottiene da $pi$ mediante opportune rotazioni e traslazioni. ↑