Pappappero ha scritto: Il prodotto tensore e' un oggetto universale, che associa ad una coppia di vettori $v \in V$ e $w \in W$ un altro vettore $v \otimes w$ che vive in uno spazio enorme $V \otimes W$. La funzione $\otimes: V \times W \to V \otimes W$ e' bilineare ma il codominio e' uno spazio vettoriale, quindi non c'e' una matrice associata (almeno, non naturalmente).
Il prodotto tensoriale è certamente un oggetto universale (nel senso delle categorie). La frase successiva però fa supporre che si tratti di una mappa, e sinceramente trovo il tutto un po' confuso.
Il prodotto tensoriale
di due spazi vettoriali è paragonabile al prodotto cartesiano o alla somma diretta. Non ha invece
nulla a che fare con il prodotto scalare o altre operazioni interne o esterne ― insomma non è una operazione.
In sostanza il prodotto tensoriale associa ad una coppia di spazi vettoriali due cose:
- Uno spazio vettoriale \(\displaystyle T = V\oplus W \);
- Una mappa bilineare \(\displaystyle b\colon V\times W \to T \).
NOTA BENE: La mappa \(\displaystyle b \) non è lineare ma bilineare.
Seppur in genere si costruisca materialmente \(\displaystyle T \), qualsiasi coppia \(\displaystyle (T,b) \) che soddisfa la proprietà universale è linearmente isomorfo al prodotto tensoriale dei due spazi.
In ogni caso, se \(\displaystyle n = \dim V \) e \(\displaystyle m = \dim W \) allora \(\displaystyle \dim V\oplus W = n\times m \). In sostanza ogni elemento di \(\displaystyle V\oplus W \) si può scrivere in modo unico nella forma \(\displaystyle \sum_{i,j} \alpha_{i,j}\mathbb{e}_i\oplus \mathbb{b}_j \) dove \(\displaystyle \{\mathbb{e}_i\} \) è una base di \(\displaystyle V \), \(\displaystyle \{\mathbb{b}_j\} \) è una base di \(\displaystyle W \) e \(\displaystyle \mathbb{e}_i\oplus \mathbb{b}_j = b(\mathbb{e}_i, \mathbb{b}_j) \) dove \(\displaystyle b \) è la mappa bilineare che definisce il prodotto tensoriale.
Riguardo alla questione sul legame tra matrici (in realtà forme bilineari) e prodotto tensoriale, nota che \(\displaystyle {\vphantom{v}}^t\mathbb{v}A\mathbb{w} = \sum_{i,j} \alpha_{i,j} v_iw_j\), non noti una certa somiglianza con la formula scritta sopra? Insomma vi è un isomorfismo lineare tra lo spazio delle forme bilineari e il prodotto tensoriale.