So che la formula di taylor permette di approssimare localmente una funzione $ f(x) $ con un polinomio $ T(x) $ .
Ora mi pare che,scelto un intorno di un punto Xo in cui f è definita e continua, è possibile ottenere un'approssimazione della funzione in tale intorno mediante la formula di taylor: dal momento che si tratta comunque di un'approssimazione è logico introdurre un errore che mi dice quanto la mia approssimazione differisce dalla funzione reale : tale errore commesso nell'approssimazione viene chiamato Resto di peano ed è rappresentato sinteticamente dal simbolo di o-piccolo: ci fornisce una misura qualitativa dell'errore.
dunque mi vengono spontanee alcune considerazioni:
1) mi pare che aumentando l'ordine del nostro polinomio , l'intorno del punto Xo in cui f(x) è approssimabile in modo soddisfacente(cioè con un errore minimo,tendente a zero) con P(x) aumenti: perciò da un punto di vista prettamente teorico, se io mi costruissi un polinomio di taylor calcolato in un punto Xo all'ordine $ nrarr oo $ (se cioè considerassi la serie corrispondente,posto che esistano tutte le derivate di f(x) in Xo) avrei che l'intorno di Xo in cui f(x) è approssimabile in modo soddisfacente con il polinomio di taylor si è ingrandito a tal punto da ricoprire tutto il dominio della funzione,tutto R(asse x) se la funzione ad esempio è l'esponenziale. CIoè l'intorno in cui l'errore che si commette nel sostituire f(x) con P(x) è minimo,tendente a zero, è diventato tutto l'asse x
Ovviamente ciò è un discorso solo teorico perche è impossibile arrivare all'ordine $ nrarr oo $.
2) il polinomio di taylor P(x) calcolato in Xo corrisponde a un'approssimazione esatta di f(x) solo per il punto Xo?? cioè l'unico punto in cui P(Xo)=f(xo) in MODO ESATTO è il punto Xo, ovvero il punto in cui è "incentrato" il polinomio? per tutti gli altri punti,il polinomio fornisce solo valori approssimati,aventi comunque un certo grado di errore,che aumenta all'allontanarsi dal punto Xo (punto in cui è stato calcolato il polinomio).
é corretto ciò che ho detto in 1) e 2) ??
grazie!!!