Funzione radice-ennesima (campo complesso)

[Sirio1988]

Salve a tutti,
posto di seguito un passo del mio libro che non ho compreso.

La funzione radice-ennesima è una funzione ad n valori e quindi si potrà pensare ad essa come ad n funzioni ad un sol valore. Esse si ottengono considerando, fissato $alpha in RR$,

$alpha +(2pi)/n (k-1)<arg z <alpha +(2pi)/n k $, k=1,..,n.

Mi sapreste spiegare da cosa deriva la precedente relazione?

[DavideGenova]

Come saprai, le $n$ radici ennesime di $z$ sono \(\sqrt[n]{|z|} e^{\frac{\theta +2k\pi}{n}}\), $k=0,...,n-1$ dove $\theta$ è un argomento di $z$. Non occorre considerare altri $k$ perché, fissato un $k$, \(e^{\frac{\theta +2(k+n)\pi}{n}}=e^{\frac{\theta +2k\pi}{n}}\), ma per qualunque $k\in\mathbb{Z}$ hai che \(\sqrt[n]{|z|} e^{\frac{\theta +2k\pi}{n}}\) è una radice $n$-esima di $z$.
La costruzione che indichi è una partizione della retta reale in intervalli di lunghezza $(2\pi)/n$ e in ogni intervallo $[\alpha+(2\pi)/n (k-1),\alpha+(2\pi)/n k)$ o $(\alpha+(2\pi)/n (k-1),\alpha+(2\pi)/n k]$ di tale lunghezza (considererei piuttosto intervalli semiaperti perché a priori non puoi sapere che \(\arg z\) non cada lì) hai uno ed un solo argomento della radice di $z$.

[Sirio1988]

Il fatto di considerare intervalli semiaperti era una cosa alla quale avevo già pensato. Per il resto continuo a non capire

[DavideGenova]

Sai quale forma hanno le radici $n$-esime di $z$ in campo complesso, giusto? Il loro argomento è, fissato uno a caso, diciamo $\theta$, dei possibili valori dell'argomento di $z$, di forma $\theta/n + \frac{2k\pi}{n}$, $k\in\mathbb{Z}$, quindi in ogni intervallo di lunghezza $(2\pi)/n$ si trova uno e soltanto uno dei valori degli argomenti corrispondenti alle radici di $z$.

[Sirio1988]

Sai quale forma hanno le radici $n$-esime di $z$ in campo complesso, giusto? Il loro argomento è, fissato uno a caso, diciamo $\theta$, dei possibili valori dell'argomento di $z$, di forma $\theta/n + \frac{2k\pi}{n}$, $k\in\mathbb{Z}$, quindi in ogni intervallo di lunghezza $(2\pi)/n$ si trova uno e soltanto uno dei valori degli argomenti corrispondenti alle radici di $z$.

Quindi si dovrebbe scrivere $alpha+2(k-1)/n pi<=arg root(n)z<alpha+2k/n pi$,k=1,...,n?

[DavideGenova]

Esatto. O anche $\alpha+2(k-1)/n\pi\le\text{arg } z<\alpha+2 k/n \pi$ se consideri una radice $z$ di un numero $w$ (scusa se ho introdotto una variabile di nome diverso), cioè se $z^n=w$.
Puoi pensare alla cosa visualmente: in ogni "spicchio semiaperto" di $(2\pi)/n$ radianti (cioè \(\{x\in\mathbb{C}:2(k-1)\pi/n\le\text{arg } x<\alpha+2 k\pi/n \}\cup\{0\}\) ) hai una ed una sola radice del tuo numero.

[Sirio1988]

Perfetto . Grazie.

[DavideGenova]

Di nulla!