Consideriamo il prodotto infinito seguente:
$p=3/1·5/7·11/9·13/15·19/17· ...=1(3·5)/(1·7)·(11·13)/(9·15)·(19·21)/(17·23)·...=3(5·11)/(7·9)·(13·19)/(15·17)·(21·27)/(23·25)·...$
L'ho scritto associando i fattori in tre modi diversi per evidenziare che lo posso trattare come successione di razionali in almeno tre modi.
1° modo. Successione oscillante
Ro = 1; per ogni n naturale: se n è pari allora Rn+1 = Rn ·$(4n+3)/(4n+1)$ altrimenti Rn+1 = Rn·$(4n+1)/(4n+3)$;
p = limite, per n ––> ∞, di Rn.
2° modo: Successione crescente
Ao = 1; per ogni n naturale An+1 =$[(8n+3)(8n+5)]/[(8n+1)(8n+7)$·An = $[(8n+4)^2-1]/[(8n+4)^2-9]$·An.
3° modo. Successione decrescente
Bo = 3; per ogni n naturale Bn+1 =$[(8n+5)(8n+11)]/[(8n+7)(8n+9)$·Bn = $[(8n+8)^2-9]/[(8n+8)^2-1]$·Bn..
Le successioni ${An}$ e ${Bn}$ costituiscono una coppia di classi contigue [di razionali] poiché
• la successione ${An}$ è crescente e la successione ${Bn}$ è decrescente;
• per ogni n naturale $An < Bn$;
• la differenza $Bn - An$ tende a 0 al tendere di n all'infinito.
Ciò assicura che questo prodotto continuo converge [al reale che è l'elemento di separazione delle due classi contigue].
E' quasi banale verificare sperimentalmente che il limite è √(2) + 1 ≈ 2,414213562373..
Ma per quanto io ne sappia, la dimostrazione teorica di ciò è piuttosto laboriosa.
Ogni tanto mi domando se non c'è una via più semplice [di dimostrare quel limite] di quella che conosco io.
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Ho 'postato' altrove altre volte questo quiz.
E molto prima che esistesse Internet ho interpellato [invano] qualche amico ... matematico professionale.
Questo prodotto continuo mi è saltato fuori moltissimi anni fa come sottoprodotto di un altro lavoro [di matematica applicata alle telecomunicazioni].
In base a quanto stavo macinando per altro scopo, doveva convergere a √(2) + 1.
Mi son chiesto allora se non c'era una via più semplice per dimostrare che il limite di quel prodotto continuo era prorio √(2) + 1.
Gli amici matematici ... non hanno trovato sufficiente interesse al mio quesito.
E i 'post' dove altre volte l'ho ripetuto sono rimasti senza risposta.
Vediamo se questa volta qualcuno trova interesse a questa questione.
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